I.Lời nói đầu:

Bất đẳng thức là một mảng Toán khó, cũng có không ít ứng dụng , nguyên lý và định lý trong việc chứng minh bất đẳngthức. Nhưng kỹ thuật mà tôi tâm đắc nhất đó là áp dụng nguyên lý Dirichlet và đây là một kỹ thuật khá thú vị mà hômnay tôi muốn gửi tới các bạn. Nguyên lí Dirichlet (Hay còn gọi là nguyên lý ngăn kéo) được để xuất ra đầu tiên bởi nhàtoán học Đức Johann Dirichlet (1805 - 1859).

II.Lý thuyết:

2.1.Nguyên lý Dirichlet:

Nguyên lí Dirichlet được phát biểu như sau: Nếu nhốt $n+1$ con thỏ vào $n$ cái chuồng thì sẽ luôn luôn có một chuồngchứa ít nhất hai con thỏ.

2.2.Ứng dụng trong bất đẳng thức:

Nguyên lí Dirichlet có rất nhiều ứng dụng trong Toán Học, điển hình là bất đẳng thức. Chúng thường được áp dụng đểgiải một số bài toán bất đẳng thức không thuần nhất. Hôm nay tôi sẽ đưa ra một số ví dụ để các bạn hiểu hơn về vấnđề này.

$⧫$ Trong 3 số $a,b,c$ luôn có 2 số nằm cùng phía với số m bất kỳ (Hay lớn hơn bằng m hoặc bé hơn bằng m).

III.Bài tập ứng dụng:

Bài Toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

 $$a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2\left(ab+bc+ca\right)$$

Định hướng lời giải:

Dễ nhận thấy đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$. Dựa trên nguyên lý Dirichlet thì trong ba số $a-1,b-1,c-1$ luôncó hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là $a-1,b-1$, ta có: $c(a-1)(b-1)\ge 0$

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

 $${\left(a-b\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2+c\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge 0$$

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $a=b=c=1$ $■$

Bài Toán 2. [APMO 2005] Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

$$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge 3(a+b+c{)}^2$$

Định hướng lời giải:

Nhận thấy đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$. Dựa trên nguyên lý Dirichlet thì trong ba số $a^2-1,b^2-1,c^2-1$ luôncó hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là $a^2-1,b^2-1$, ta có: $(a^2-1)(b^2-1)\ge 0$

Từ đó ta có bất đẳng thức sau : $$\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)=3\left(a^2+b^2\right)+3+\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge 3\left(a^2+b^2\right)+3$$

Ta quy về bài toán chứng minh bất đẳng thức sau:

$$\left(a^2+b^2+1\right)({}^{}$$