Cân bằng hệ số, điểm rơi giả định trong chứng minh BĐT - Trường THCS Nghĩa An

Đăng nhập / Đăng ký

1. Lạy Mẹ , con đến bên Mẹ với con tim đầy phiền muộn Mẹ đã thấy điều làm con đau khổ trên đường con đi Mẹ ơi ! con biết rõ đôi tay Mẹ ứ đầy Những bó hoa của khổ đau mà mọi người đến để dâng lên Mẹ hiền . Nơi ngưỡng cửa của những buổi chiều . Mẹ thật để ý, Vì đó là giờ mà tâm hồn con luôn quay về với Mẹ Mẹ ơi ! những lời nói của con thật nặng nề. Lời nguyện cầu của con còn nhút nhát Để nói chuyện với Chúa của con , con cần đến tiếng nói của Mẹ hiền . Ngôi sao luôn tỏa sáng trong đêm tối của những nghi nan nơi con Mẹ hướng cái nhìn của con về bình minh của tình yêu mến Mẹ ơi , khi con do dự trước những giao điểm đường đời . Con lập lại tên Mẹ và con lại luôn luôn bước tới Cho tới giờ được chúc phúc , giờ được nhìn ngắm dung nhan Mẹ Con sẽ không còn nghĩ tới những đá cản trên đường ! Mẹ ơi ! khi con đời chờ kết thúc của cuộc lữ hành Con sẽ đi về nhà Chúa khi cầm tay Mẹ hiền . . Amen
3. Cứu xét tâm tánh đừng cầu không khúc mắc, vì không khúc mắc sở học không thấu kiệt.
4. Sự nghiệp đừng cầu không bị trở ngại, vì không trở ngại thì chí nguyện không kiên cường.
5. Làm việc đừng mong dễ thành, vì việc dễ thành thì lòng thị thường kiêu ngạo.
6. Giao tiếp đừng cầu lợi mình, vì lợi mình thì mất đạo nghĩa.
7. Với người đừng mong tất cả đều thuận theo ý mình, vì được thuận theo ý mình thì lòng tất tự kiêu.
8. Thi ân đừng cầu đền đáp, vì cầu đền đáp là thi ân mà có ý có mưu đồ.
9. Thấy lợi đừng nhúng vào, vì nhúng vào thì hắc ám tâm trí.
10. Oan ức không cần biện bạch, vì biện bạch là hèn nhát mà oán thù càng tăng thêm.
Bởi vậy, Phật đã thiết lập chánh pháp lấy bệnh khổ làm thuốc thần, lấy hoạn nạn làm thành công, lấy gai góc làm giải thoát, lấy ma quân làm đạo bạn, lấy khó khăn làm sự tác thành, lấy bạn tệ bạc làm người giúp đỡ, lấy kẻ chống nghịch làm người giao du, coi thi ân như đôi dép, lấy sự xả lợi làm vinh hoa, lấy oan ức làm đà tiến thân. Do đó, ở trong trở ngại mà vượt qua tất cả, ngược lại cầu dễ dàng thì bị khúc mắc. Đức Thế Tôn được giác ngộ ngay trong mọi sự trở ngại. Ương quật hành hung. Ngày nay, những người học Đạo, trước hết không dấn mình vào sự trở ngại nên khi trở ngại xáp tới thì không thể nào đối phó. Chánh pháp chí thượng vì vậy mất cả, đáng tiếc đáng hận biết ngần nào ?
Trích: Luận Bảo Vương Tam Muội

Thống kê

808818 truy cập (chi tiết)
475 trong hôm nay

1405708 lượt xem
884 trong hôm nay

1 thành viên

Thành viên trực tuyến

0 khách và 0 thành viên

UniKey 3.63-32 bit.
Bộ gõ tiếng Việt.

Smart scheduler 4.2.
Xếp TKB.

mathtype-7-13.
Công thức toán.

Uconvert Destopk 1.2.
Chuyển đổi phông chữ.

Excel.
Tiện ích trong Excel.

Máy in Canon LPB 2900.

Máy in Canon LPB 3000.

IDM.
Hỗ trợ download.

> Teamviewer 15.2.
Điều khiển máy tính từ xa.

Wỉnrar.
Winrar mới.

Foxit PDF Reader.
Đọc PDF nhanh, nhẹ.

FFSJ.
Cắt nối file.

Smart scheduller 6.1.
PM xếpTKB.

Corel X7.
Corel X7.

Google Chorme+.
Trình duyệt Web

Firefox+.
Trình duyệt Web tiếng Việt.

Đăng nhập

Tài nguyên dạy học

Theme: White and Blue
Designer: Cao Xuân Hùng
© Copyright 2003 Nghia An, All rights reserved

Theme: White and Blue
Designer: Cao Xuân Hùng
© Copyright 2003 Nghia An, All rights reserved

1. Nghĩ đến thân thể thì đừng cầu không bệnh tật, vì không bệnh tật thì dục vọng dễ sanh.
2. Ở đời đừng cầu không khó khăn, vì không khó khăn thì kiêu sa nổi dậy.
3. Cứu xét tâm tánh đừng cầu không khúc mắc, vì không khúc mắc sở học không thấu kiệt.
4. Sự nghiệp đừng cầu không bị trở ngại, vì không trở ngại thì chí nguyện không kiên cường.
5. Làm việc đừng mong dễ thành, vì việc dễ thành thì lòng thị thường kiêu ngạo.
6. Giao tiếp đừng cầu lợi mình, vì lợi mình thì mất đạo nghĩa.
7. Với người đừng mong tất cả đều thuận theo ý mình, vì được thuận theo ý mình thì lòng tất tự kiêu.
8. Thi ân đừng cầu đền đáp, vì cầu đền đáp là thi ân mà có ý có mưu đồ.
9. Thấy lợi đừng nhúng vào, vì nhúng vào thì hắc ám tâm trí.
10. Oan ức không cần biện bạch, vì biện bạch là hèn nhát mà oán thù càng tăng thêm.
Bởi vậy, Phật đã thiết lập chánh pháp lấy bệnh khổ làm thuốc thần, lấy hoạn nạn làm thành công, lấy gai góc làm giải thoát, lấy ma quân làm đạo bạn, lấy khó khăn làm sự tác thành, lấy bạn tệ bạc làm người giúp đỡ, lấy kẻ chống nghịch làm người giao du, coi thi ân như đôi dép, lấy sự xả lợi làm vinh hoa, lấy oan ức làm đà tiến thân. Do đó, ở trong trở ngại mà vượt qua tất cả, ngược lại cầu dễ dàng thì bị khúc mắc. Đức Thế Tôn được giác ngộ ngay trong mọi sự trở ngại. Ương quật hành hung. Ngày nay, những người học Đạo, trước hết không dấn mình vào sự trở ngại nên khi trở ngại xáp tới thì không thể nào đối phó. Chánh pháp chí thượng vì vậy mất cả, đáng tiếc đáng hận biết ngần nào ?
Trích: Luận Bảo Vương Tam Muội

Gốc > Bài viết > Câu chuyện toán học >

Tạo bài viết mới Cân bằng hệ số, điểm rơi giả định trong chứng minh BĐT

Bài toán 1 : Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng : $10a^2+10b^2+c^2\geq 4(ab+bc+ca)$

Lời giải :

Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $ab+bc+ca=1$ .

Ta cần chứng minh $10a^2+10b^2+c^2\geq 4$

Do vai trò của $a,b$ bình đẳng nên ta dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi $a=b=x,c=y$ .

Theo $AM-GM$ :

$a^{2}+b^2\geq 2ab\Rightarrow a^2xy+b^2xy\geq 2ab.xy$

$a^2y^2+c^2x^2\geq 2ca.xy$

$b^2y^2+c^2x^2\geq 2bc.xy$

Cộng các BĐT trên theo vế, ta được :

$(a^{2}+b^2)(xy+y^2)+2c^2x^2\geq 2xy(ab+bc+ca)=2xy$

Ta sẽ chọn $x,y$ thỏa mãn hệ :

$\left\{\begin{matrix} xy+y^2=20x^2 & & \\ x^2+2xy=1 & & \end{matrix}\right.$

Hệ này cho nghiệm $x=\dfrac{1}{3},y=\dfrac{4}{3}$

Từ đó suy ra $\dfrac{20}{9}(a^2+b^2)+\dfrac{2}{9}c^2\geq \dfrac{8}{9}\Leftrightarrow 10a^2+10b^2+c^2\geq 4$

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 2: Cho các số dương $a,b,c$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=\dfrac{4ab+6ac+8bc}{(a+b+c)^2}$

Lời giải :

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ . Ta đi tìm giá trị lớn nhất của $Q=4ab+6ca+8bc$ với điều kiện này.

Ta tìm các số $m,n,p$ để $Q$ viết được dưới dạng :

$Q=ma(b+c)+nb(c+a)+pc(a+b)=(m+n)ab+(n+p)bc+(p+m)ca$

Như vậy chọn $m,n,p$ thỏa hệ $\left\{\begin{matrix} m+n=4\\ n+p=8\\ p+m=6 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (m,n,p)=(1,3,5)$

Do đó ta có :

$Q=a(b+c)+3b(c+a)+5c(a+b)=a(1-a)+3b(1-b)+5c(1-c)=\left [ -\left ( a-\dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4} \right ]+3\left [ -\left ( b-\dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4} \right ]+5\left [ -\left ( c-\dfrac{1}{2} \right )^2+\dfrac{1}{4} \right ]=\dfrac{9}{4}-\left [ \left ( a-\dfrac{1}{2} \right )^2+3\left ( b-\dfrac{1}{2} \right )^2+5\left ( c-\dfrac{1}{2} \right ) ^2\right ]\leq \dfrac{9}{4}-\dfrac{[(a-1/2)+(b-1/2)+(c-1/2)]^2}{(1/3+1+1/5)}=\dfrac{48}{23}$

Kết luận : $MaxP=\dfrac{48}{23}\Leftrightarrow a=3b-1=5c-2$

Advertisements

Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ có tổng bằng $3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=x^{4}+2y^{4}+3z^{4}$

Lời giải :

Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x=a,y=b,z=c$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$b^{3}c^{3}(x^{4}+a^{4}+a^{4}+a^{4})\geq 4xa^{3}b^{3}c^{3}$

$c^{3}a^{3}(y^{4}+b^{4}+b^{4}+b^{4})\geq 4ya^{3}b^{3}c^{3}$

$a^{3}b^{3}(z^{4}+c^{4}+c^{4}+c^{4})\geq 4za^{3}b^{3}c^{3}$

Cộng vế các BĐT trên, ta được :

$b^{3}c^{3}x^{4}+c^{3}a^{3}y^{4}+a^{3}b^{3}z^{4}+3a^{3}b^{3}c^{3}(a+b+c)\geq 4(x+y+z)a^{3}b^{3}c^{3}=12a^{3}b^{3}c^{3}\Leftrightarrow b^{3}c^{3}x^{4}+c^{3}a^{3}y^{4}+a^{3}b^{3}z^{4}\geq 3a^{3}b^{3}c^{3}$

Như vậy ta sẽ chọn $a,b,c$ thỏa mãn hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=3 & & \\ \dfrac{b^{3}c^{3}}{1}=\dfrac{c^{3}a^{3}}{2}=\dfrac{a^{3}b^{3}}{3} & & \end{matrix}\right.$

Hệ này cho ta nghiệm $a=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}},b=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}},c=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}}$

Từ đó :

$\dfrac{a^{6}}{6}x^{4}+\dfrac{a^{6}}{3}y^{4}+\dfrac{a^{6}}{2}z^{4}\geq 3.\dfrac{a^{9}}{6} =\dfrac{a^{9}}{2}\Rightarrow x^{4}+2y^{4}+3z^{4}\geq \dfrac{a^{9}}{2}:\dfrac{a^{6}}{6}=3a^{3}=\dfrac{486}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})^{3}}$

Kết luận :

$MinF=\dfrac{486}{(\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})^{3}}\Leftrightarrow a=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}},b=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}},c=\dfrac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}}$

Bài toán : Cho 3 số thực $x, y, z \ge 0$ và thỏa mãn điều kiện $x + y + z = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^3 + y^3 + \dfrac{1}{2}z^3$

Lời giải :

Vì $x,y$ vai trò tương đương nhau nên đẳng thức xảy ra khi $x=y=a$ và $z=b$ .

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$b^2(x^{3}+a^{3}+a^{3})\geq 3xa^{2}b^2$

$b^2(y^{3}+a^{3}+a^{3})\geq 3ya^{2}b^2$

$a^{2}(z^{3}+b^{3}+b^{3})\geq 3za^{2}b^{2}$

Cộng các BĐT trên vế theo vế :

$b^{2}(x^{3}+y^{3})+a^{2}z^{3}+4a^{3}b^{2}+2b^{3}a^{2}\geq 3a^{2}b^{2}(x+y+z)=3a^{2}b^{2}\Rightarrow b^{2}(x^{3}+y^{3})+a^{2}z^{3}\geq 3a^{2}b^{2}-4a^{3}b^{2}-2b^{3}a^{2}$

Ta sẽ chọn $a,b,c$ sao cho $\dfrac{b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{1}{1/2}=2$

Như vậy ta sẽ giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} b^{2}=2a^{2} & & \\ 2a+b=1& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} & & \\ b=-1+\sqrt{2}& & \end{matrix}\right.$

Khi đó $(3-2\sqrt{2})(x^{3}+y^{3})+\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}z^{3}\geq \dfrac{17-12\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}+\dfrac{1}{2}z^{3}\geq \dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$

Vậy : $MinP=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2},z=-1+\sqrt{2}$

Nhắn tin cho tác giả

Cao Xuân Hùng @ 20:21 20/03/2018
Số lượt xem: 663

Số lượt thích: 0 người

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân (19/03/18)