Ví dụ 6:
Giải hệ phương trình
Phân tích : Với hệ này, phương trình thứ hai chứa hai căn bậc lệch, các đại lượng không có mối liên quan gì để ta khai thác. Phương trình thứ nhất có tính đối xứng với hai biến . Nhưng nếu ta tinh ý, phương trình này không những có tính đối xứng mà nó còn là phương trình đẳng cấp bậc ba với đại lượng .
Thật vậy, ta có phương trình thứ nhất được biến đổi thành phương trình :

.
Để cho tiện trong việc khai triển ta đặt . Khi đó trở thành:

.
Vậy xem nút thắt của bài toán đã được gỡ. Và giờ chúng ta đi giải quyết hệ.
Lời giải : Điều kiện : .
Phương trình thứ nhất được biến đổi thành phương trình :


Đặt . Khi đó phương trình trở thành :


vì .
Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình :
,


vì với .
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là : .
Bình luận: Bài toán thể hiện tính đối xứng thông qua định dạng phương trình đẳng cấp. Ở phương trình khi thay thế thì ngoài cách giải liên hiệp như trong lời, chúng ta có thể sử dụng hàm số để giải quyết.
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình

Phân tích: Rõ ràng từ hệ này ta không thể công phá gì được phương trình thứ hai trong hệ, còn phương trình thứ nhất trong hệ ta dễ nhận thấy phương trình này đối xứng với hai biến nên ta có thể bắt nhân tử chung phương trình này.
Ở phương trình thứ nhất trong hệ nếu ta để ý sẽ thấy các cặp đại lượng sau ghép lại ta sẽ được hằng đẳng thức.
Thật vậy ta có : .
Do đó ta sẽ tách phương trình thứ nhất để quy đồng và liên hiệp như sau :


Với phương trình ta nhận thấy nếu thì luôn đúng. Do đó ta tách như sau :


.
Vậy xem như nút thắt của bài toán đã được gỡ và xem như hệ đã được giải quyết.
Lời giải : Điều kiện : .
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :



.
Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình :
.
Đặt . Khi đó phương trình trở thành :

vì


Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là : .
Bình luận : Với bài toán này, phương trình thứ nhất trong hệ có tính đối xứng hai biến nhưng kỉ thuật để bắt nhân tử chung là phép nhân lượng liên hiệp. Sự trở lại của nhan tử lặp lại hai lần, nếu không tinh ý sẽ dễ sa đà vào việc chứng minh phần còn lại vô nghiệm. Đối với phương trình thứ hai giải tìm nghiệm, ngoài cách làm ẩn phụ hóa như trên thì ta có thể tách trực tiếp để cô lập hai đại lượng và sử dụng hằng đẳng thức để tách nhân tử vẫn cho kết quả.
Cụ thể ta có:

.
Ví dụ 8:
Giải hệ phương trình .
Phân tích : Cấu trúc của phương trình thứ hai trong hệ này, thật khó để phán đoán công phá nó bằng hướng nào. Phương trình thứ nhất trong hệ cũng chưa giúp được gì ngay, tuy nhiên quan sát phương trình thứ nhất có thể cô lập được hai biến nên có khả năng bắt nhân tử.
Cụ thể ta biến đổi phương trình thứ nhất trở thành : .
Do vế phải phương trình vừa biến đổi ta có biến được sắp xếp theo định dạng . Do đó để bắt được nhân tử ta sẽ cố gắng biến đổi vế trái của phương trình vừa biến đổi cũng theo một định dạng tương tự như vậy để có được tính đối xứng.
Ta cần có :. Do hệ số là 1 nên ta có .
Vậy.
Đồng nhất hai vế phương trình ta có : .
Vậy ta sẽ có :

.
Vậy xem như hệ đã được giải quyết với việc tìm ra nút thắt này.
Lời giải : Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :


vì .
Thay vào phưng trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình :


Đặt .
Khi đó ta có trở thành :


Với ( hệ vô nghiệm ).
Với

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :
.
Bình luận : Với bài toán trên ở phương trình thứ nhất chúng ta thường lựa chọn giải quyết bằng hàm số. Điều đó là hoàn toàn hợp lí. Nhưng với góc độ nhìn khác thì dựa trên tính phân ly của hai biến hay còn gọi là cô lập của hai biến về được một định dạng phương trình có tính đối xứng thì hằng đẳng thức vẫn cho lời giải tốt và tự nhiên hơn. Chúng tôi thiết nghỉ, nếu đó là cấu trúc phức tập thì sử dụng hàm số đại diện có thể là lựa chọn tốt nhất nhưng với những cấu trúc cơ bản có thể giải quyết tốt bằng hằng đẳng thức thì con đường tiếp cận như lời giải trong bài toán có thể là hướng đi tự nhiên và phù hợp với đại đa số học sinh hơn. Ở phương trình giải tìm nghiệm, ngoài lời giải trên, chúng ta cũng có thể sử dụng ẩn phụ hóa kết hợp hàm số để giải quyết. Tuy nhiên, nếu tinh tế thì chỉ cần ẩn phụ hóa ta vẫn có thể giải tốt.
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình
Phân tích : Với hệ này, không khó khăn để nhận ra để giải quyết hệ, ta cần phải công phá phương trình thứ nhất trong hệ.
Cụ thể ta có :
.
Tới phương trình biến đổi cuối cùng ta cũng chưa thấy điều gì rõ ràng, tuy nhiên quan sát vế phải của phương trình cuối ta nhận thấy đại lượng có liên quan đến hằng đẳng thức bậc ba với hai biến nên ta tách được phương trình :


Ta có (*) giữa hai đại lượng đã có tính phân ly và hai vế phương trình đều có định dạng đối xứng nên từ (*) ta sẽ bắt được nhân tử chung . Do đó hệ xem như được giải quyết.
Lời giải : Điều kiện : .
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :




vì.
Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình :
( Điều kiện : ).
.
Nhận xét với nên ta có:


Với .
Với .
Do đó với vô nghiệm.
Do đó từ ta có : .
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là :
.
Bình luận : Bài toán có được tính đối xứng dựa vào dấu hiệu hằng đẳng thức để tạo sự phân li cho biến ở phương trình thứ nhất. Một đặc điểm cùng thường gặp.
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình
Phân tích : Với phương trình thứ hai chúng ta không thể nghỉ đến việc công phá nó vì bậc khá cao và các đại lượng tham gia chẳng có liên quan gì với nhau. Với phương trình thứ nhất trong hệ, các biến đa có tính phân li nên việc quy chúng về một định dạng có tính đối xứng cho hai vế là rất cao.
Nhưng rõ ràng vế trai và vế phải của phương trình thứ nhất đều cho ta sự lựa chọn để định dạng một cho trước để tìm sự đối xứng. Tuy nhiên, vế trái có hình thức gần gũi hơn nên ta sẽ cố gắng tách phương trình thứ nhất về dạng sau :
.
Tức là ta cần có : . Do hệ số của là nên ta có .
Vậy ta có :

Đồng nhất hệ số của phương trình này ta có : .
Và như thế ta sẽ có : . Phương trình này đã có sự cô lập hai biến và có định dạng đối xứng nên ta bắt được nhân tử chung . Như vậy xem như hệ đã gỡ được nút thắt và sẽ được giải quyết.
Lời giải : Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :

vì .
Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình :

Đặt . Khi đó kết hợp phép đặt và phương trình ta có hệ phương trình :

vì .
vì
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .
Bình luận : Với cấu trúc phương trình thứ nhất trong hệ ngoài cách tách định dạng như trong lời giải, chúng ta cũng có thể tách theo chiều hướng sau :
.
Tức là ta cần có : . Ta cũng có .
Nên :
.
Đồng nhất hệ số hai vế phương trình này ta có : .
Và như vậy ta sẽ có phương trình thứ nhất được viết lại :
.
Phương trình vẫn bắt nhân tử được như trong lời giải. Qua bài toán này, chúng ta có thể nhìn nhận để tạo đươc định dạng phương trình cô lập và có tính đối xứng hai biến thì chúng ta không phải có duy nhất một cách. Tuy nhiên, trên thực tế chúng ta cần có cái nhìn bao quát để tìm được biễu diễn cái nào “lợi thế” về mặt hình thức và con đường đi tìm ra nó.
Trong bài toán này, ở phương trình hai là một cách giải khá hay của phương trình đa thức đưa về hệ đối xứng. Rõ ràng phương trình trong bài toán không cho chúng ta phép biến đổi trực tiếp vì thật sự có bậc khá cao.
Phép đặt có được bằng cách đưa phương trình về dạng : .
Để hệ có tính đối xứng ta cần xử lí sao cho : .
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình :

Phân tích : Với hệ này, quan sát ta thấy ngay được phương trình thứ nhất trong hệ có tính đối xứng giữa hai đại lượng .
Thật vậy, ta có phương trình thứ nhất được biến đổi thành phương trình :


.
Và như vậy xem như bài toán đã được giải quyết.
Lời giải : Điều kiện : .
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :


vì .
Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình :




Với phương trình


(Hệ vô nghiệm ).
Do đó từ ta có : .
Đối chiếu điều kiện : ta có : .
Đối chiếu điều kiện ta có :
Đối chiếu điều kiện của hệ ta có nghiệm là : .
Bình luận : Với cấu trúc của phương trình thứ nhất trong hệ, không khó cho chúng ta phán đoán tính đối xứng. Ở phương trình giải tìm nghiệm, chỉ cần một chút khéo léo để ý hai biểu thức bậc ba có cùng hệ số, ghép chúng lại với nhau và tách hợp lí.
Ví dụ 12 :
Giải hệ phương trình .
Phân tích : Với hệ này, chúng ta sẽ khai thác từ phương trình thứ nhất trong hệ vì phương trình thứ hai có cấu trúc không cho được các phép biến đổi nào có lợi.
Phương trình thứ nhất chứa hai căn bậc hai, mỗi căn chứa đúng một biến và gắn trước căn thức chứa biến nào thì đi với tích một đại lượng của biến đó. Do đó theo suy nghỉ tự nhiên, chúng ta sẽ ẩn phụ hóa, tuy nhiên cấu trúc khá nhẹ nhàng và dễ phán đoán nên ta có thể tách trực tiếp.
Cụ thể ta có :


Rõ ràng phương trình cuối có tính phân li giữa hai đại lượng và có định dạng phương trình là đối xứng nên ta có thể bắt nhân tử được nhân tử chung.
Thật vậy, ta có :

.
Và tới đây xem như hệ đã gỡ được nút thắt và cơ bản đã có định hướng để giải quyết.
Lời giải : Điều kiện : .
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :



vì .
.
Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta có phương trình :
.


Với ta có phương trình được thỏa. Do đó với ta có trở thành:


vì khi .
Vậy phương trình có hai nghiệm .
Đối chiếu điều kiện của hệ ta có nghiệm của hệ là : .
Bình luận: Về cơ bản ta có nhận định, phương trình thứ nhất vẫn giải theo phương diện xét hàm số đại diện được. Ở phương trình giải tìm nghiệm, các bạn có thể sử dụng hàm số để giải quyết vẫn tốt.
Nhận định chung về loại hệ này, thông thường thì các bài toán hệ thuộc kiểu này đa số có thể giải bằng phương pháp xét hàm số đại diện. Tuy nhiên, đó chỉ là đa số chứ còn một số bài thuộc kiểu này nhưng xét hàm đại diện lại không tối ưu. Như trong các ví dụ chúng tôi đã có một vài bài toán minh họa và bình luận. Và trên hết, chúng tôi muốn gửi gắm tới các bạn, đó là xét hàm số đại diện thật chất nó là bài toán có tính đối xứng và sử dụng hằng đẳng thức để triển khai. Và có đôi lúc hiểu như vậy, thì lại cho lời giải được tự nhiên hơn vì xét hàm số thì cần phải có tập xác định rõ ràng và nếu không nắm chắc và hiểu rõ sẽ dễ kết luận sai và gây ra nhiều điều đáng tiếc.

III. PHƯƠNG PHÁP TẠO NHÂN TỬ BẰNG KỶ THUẬT CỘNG, TRỪ, NHÂN CHÉO
Đây là một phương pháp khá mạnh và hay dùng trong hệ để bắt nhân tử, nguồn gốc của phương pháp này chính là trong hệ có nhân tử chung nhưng không thể bắt nhân tử trên từng phương trình mà cần phải có sự phối hợp của cả hai phương trình trong hệ.
Về nội dung ta có thể tóm gọn như sau, từ hệ ta đưa về các hệ sau:



Các bài toán hệ này thường là hệ bậc hai tổng quát, hệ phương trình chứa đa thức bậc cao, hệ có tính đối xứng (loại 1, loại 2), nữa đối xứng và dạng hệ có đặc thù riêng như chứa các hằng đẳng thức vv…. Cũng như hai phương pháp trước, để giải hệ theo phương pháp này chúng ta cần có cái nhìn tổng quát và nhận ra được tính chất của hệ.
Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình .
Phân tích : Với hệ này, không khó nhận ra nếu ta cộng hai phương trình lại với nhau vế theo vế ta sẽ khử được đại lượng và tạo ra được phương trình bậc ba với biến .
Cụ thể ta có phương trình :
.
Và hệ đã được giải quyết.
Lời giải : Cộng vế theo vế hai phương trình trong hệ ta có phương trình :
vì .
Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta được phương trình :

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm .
Bình luận: Bài toán trên quá cơ bản, từ quan sát thấy hai phương trình chứa cùng và trái dấu, đồng thời vế trái của hai phương trình đều chứa các đại lượng nên chọn phương án cộng hai vế là con đường đi tự nhiên nhất.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình .
Phân tích : Cả hai phương trình trong hệ đều là phương trình bậc hai theo hai biến . Kiểm tra ta nhận thấy cả hai phương trình đều phân tích được nhân tử nhưng lại không có được delta chính phương. Do đó việc nghỉ bắt nhân tử một trong hai phương trình trong hệ xem như thất bại. Nên ta sẽ tìm cách kết hợp hai phương trình lại với nhau xem sao ?
Trước hết ta biến đổi hệ cho dễ quan sát:.
Quan sát toàn hệ ta nhận thấy nếu ta cộng hai phương trình trong hệ ta sẽ thu được hằng đẳng thức nên ta định hướng cách này xem sao ?
Cụ thể ta sẽ có :
.
Phương trình cuối đã chứng tỏ được sự thành công của ý tưởng. Và ta sẽ tiến hành giải hệ.
Lời giải :
Hệ phương trình được biến đổi trở thành:
Lấy (1) + (2) vế theo vế ta có phương trình:


Với thế vào (1) ta có:

.
Với thế vào ta có :

.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là :
.
Bình luận : Bài hệ này vẫn còn cơ bản, chỉ cần tinh ý một chút ta sẽ nhận ra hằng đẳng thức và sẽ thu được một phương trình bậc hai theo đại lượng .
Ví dụ 3 :
Giải hệ phương trình
Phân tích: Với hệ này nếu ta suy nghỉ tự nhiên ta sẽ có ba hướng sau khi nhìn vào hệ.
Hướng 1 : Ta lấy (1) – (2) vế theo vế ta sẽ khử được và thu được phương trình :
.
Tới đây ta có thể sử dụng phép thế để giải quyết.
Hướng 2: Còn nếu ta muốn khử ta lấy ta sẽ thu được phương trình sau: .
Tới đây ta có thể thực hiện phép thế và biến đổi đại số để ra kết quả.
Hướng 3: Còn nếu ta muốn khử thì ta sẽ lấy ta sẽ được phương trình: .
Kiểm tra ta thấy phương trình cũng không phân tích được delta chính phương.
Vậy qua 3 hướng ta sẽ nhận thấy hệ này có thể giải theo hướng 1 hoặc hướng 2 là sáng sủa nhất .
Tuy nhiên, đây là một hệ bậc hai tổng quát, để giải hệ này ta thường sử dụng ẩn phụ hóa theo hướng : . Tuy nhiên, cách giải này chúng tôi thiết nghỉ chưa thể khái quát hóa cách giải của loại hệ này được. Vì cách làm này, hầu hết sẽ đưa hệ ban đầu về hệ đẳng cấp. Có một điều đó là một phương trình bậc hai hai biến tổng quát về phương trình đẳng cấp với cách đặt như trên là điều có thể luôn có được, điều này cũng có nghĩa là ta luôn tìm được một cặp để tịnh tiến nghiệm như trên. Tuy nhiên, hệ trên lại được cấu tạo bởi hai phương trình bậc hai tổng quát nên điều sau có thể xảy ra đó là mỗi phương trình sẽ có cặp để thực hiện phép tịnh tiến riêng lẻ. Nếu điều đó xảy ra thì cách làm trên sẽ phá sản.
Nhận định chung là như vậy, nhưng trước một phương trình bậc hai dạng tổng quát ta có thể thử với phương pháp ẩn phụ này.
Đặt thế vào phương trình ta có :

Để là đẳng cấp ta cần có : .
Khi đó ta sẽ có phép đặt thay vào hệ đã cho ta có hệ phương trình :

.
Và hệ (*)là hệ đẳng cấp bậc hai đã biết cách giải.
Cũng như ngày từ đầu chúng tôi đề cập, loại hệ này cũng sẽ có nhân tử chung nên bằng mọi giá chúng ta sẽ nghỉ đến việc tách nhân tử chung. Do cấu tạo của hệ là chứa hai phương trình bậc hai với hai biến nên ta có quyền nghỉ đến hướng ghép hai phương trình này thành một phương trình bậc hai tách được nhân tử chung tức là ta cần một phương trình bậc hai có delta chính phương bằng phương pháp hệ số bất định sau :


Ta cần có :
là một số chính phương.
Và như vậy ta cần có :
.
Ở đây ta chỉ lấy về tính thẩm mỹ. Với ta có hướng 1, bây giờ ta sẽ xử lí với trường hợp .
Lúc đó ta có :

.
Phương trình có .
Vậy từ đây ta đã tách được nhân tử.
Sau đây, ta sẽ đi vào lời giải chính thức cho hệ này.
Lời giải :
Cách 1 : Lấy vế theo vế ta có phương trình :

Thế vào phương trình ta có phương trình :


.
Cách 2: Đặt . Lúc đó hệ phương trình trở thành hệ phương trình:


Từ và ta có:

.
Với thay vào ta có : .
Từ đó ta có : .
Với thay vào ta có : .
Từ đó ta có :
Cách 3. Lấy ta được phương trình :
.
Phương trình có .
Từ đó ta suy ra có hai nghiệm phân biệt :
Với ta thay vào phương trình ta được phương trình :
.
Với ta thay vào phương trình ta được phương trình :
.
Vậy qua ba cách giải ta có nghiệm của hệ là :
.
Bình luận : Qua sự phân tích của ví dụ này, chắc bạn đọc đã hiểu được về cơ bản thì đối với hệ phương trình bậc hai tổng quát ta đều có thể tiến hành một cách tự nhiên là khử hoặc rồi dùng phép thế đều có thể giải tốt. Nhược điểm của cách này chính là sự biến đổi đại số khá phức tạp và đòi hỏi sự khéo léo. Cách đặt ẩn phụ hóa sẽ giải quyết tốt các hệ phương trình bậc hai tổng quát đưa được về hệ đẳng cấp, còn lại thì không tối ưu lắm. Nhược điểm của cách này là cũng thiên về tính toán. Tuy nhiên có một cách giải quyết phép đặt đối với hệ này nếu đưa về được về hệ đẳng cấp như sau :
Xét hệ tổng quát: .
Ta lần lượt đạo hàm phương trình thứ nhất theo hướng sau :
Cố định (tức là xem là hằng số) ,đạo hàm theo biến ta có :
.
Cố định (tức là xem là hằng số), đạo hàm theo biến ta có :
.
Giaỉ hệ đặt .
Với cách 3 thì ý nghĩa chính của nó là thực hiện “ghép và tạo” một phương trình bậc hai tách được nhân tử. Kỉ thuật hệ số bất định giải được tất cả hệ bậc hai tổng quát. Nhược điểm của nó chính là tính toán khá rắc rối. Tuy vậy, chúng tôi gửi đến các bạn cách thực hành nhanh như sau :
Đặt .
Nhập vào máy tính phương trình : .
Phương trình này là phương trình bậc ba theo biến nên sẽ luôn tìm được .
Khi đó ta sẽ có :

Được biến đổi thành một phương trình bậc hai tách được nhân tử.
Chắc các bạn thắc mắc là tại sao ở cách 3 chúng ta chỉ tìm được giá trị cho hướng 1 trong phân tích và một giá trị khác là cách được nhân tử, còn giá trị cho hướng 2 đâu ? Câu trả lời khá đơn giản thế này, ở hướng 1 và hướng 2 tuy hình thức khác nhau nhưng nội dung của chúng là giống nhau đó chính là khử bớt đại lượng chứa mũ 2 trong phương trình nên khi sử dụng hệ số bất định ta chỉ tìm được giá trị cho hướng 1 hoặc hướng 2 ( đa số là hướng 1).
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
Phân tích : Với hệ này, nhận xét đầu tiên là hệ này ngay từ đầu ta không nhận thấy được điều gì cả. Tuy nhiên ta nhận xét nếu chuyển bớt hai đại lượng ở vế trái mỗi phương trình ta được một phương trình bậc ba nên ta thử xem với cách biến đổi này, ta có được nhận xét gì về hệ ?
Cụ thể ta có hệ được biến đổi trở thành :
Tới đây, ý tưởng của chúng ta sẽ cố gắng tách được nhân tử bên vế phải của hai phương trình trong hệ nhờ nghiệm của phương trình bậc ba. Ý tưởng là vậy nhưng cái khó là chúng ta lại không được nghiệm nguyên cho cả hai phương trình bậc ba. Nhưng với hệ này ý tưởng tách nhân tử bên vế phải của hai phương trình có vẻ là khả thi nhất để công phá hệ, do đó ta cố gắng tách cho được.
Nhận xét với ;
.
Do đó ta tách hệ như sau :

Và tới đây hình hài bài toán đã rõ ràng hơn, khi mà ta nhân chéo hai vế hai phương trình trong hệ cho nhau ta sẽ được phương trình :
.
Và tới đây mọi thứ đã rõ ràng và hệ đã được giải quyết.
Lời giải : Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ sau :

Nhân chéo hai vế của và ta được phương trình :


Thử lại ta nhận được nghiệm của hệ là .
Bình luận: Bài toán này, nhìn qua lời giải sẽ có suy nghỉ chủ quan là bài toán dễ, nhưng chúng tôi lại không nghỉ vậy. Vì lời giải thật sự đòi hỏi một chút “tinh quái “ về tách nhân tử không phải học sinh nào cũng biết được. Chắc các bạn thắc mắc tại sao lại thử số 3 mà không thử với . Cái này là một mẹo nhỏ. Qua bước kiểm tra nghiệm của hai phương trình bậc ba ta thấy với phương trình bậc ba theo biến có ba nghiệm xấp xỉ là . Còn phương trình bậc ba theo biến có duy nhất một nghiệm xấp xỉ là . Sự tương quan giữa hai con số và khi làm tròn là 3. Do đó ta nghỉ đến phép thế số 3.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình .
Phân tích : Với hệ này, việc đầu tiên nhận thấy ngay hệ số chứa ba hệ số đặc biệt . Điều này gợi ý cho chúng ta là bình phương hai vế mỗi phương trình cộng lại để thu gọn hệ số của vế phải của hai phương trình là 1. Tuy nhiên, nó chỉ là sự tinh ý thứ nhất, sự tinh ý thứ hai là chúng ta thấy được khi bình phương hai vế của hai phương trình thì khi cộng lại vế theo vế thì vế trái sẽ cho chúng ta một đại lượng giống mẫu số.
Thật vậy, ta có :

.
Và tới đây, mọi chuyện đã dễ dàng hơn.
Mặt khác ta để ý rằng nếu hệ này có nghiệm thì . Do đó nếu ta nhân hai vế phương trình thứ nhất cho và nhân hai vế phương trình thứ hai cho và đem hai vế phương trình trừ cho nhau vế theo vế ta sẽ được vế trái sẽ có hệ số là 1.
Cụ thể ta có :

.
Tới đây ta chỉ còn thực hiện phép thế.
Lời giải : Điều kiện : .
Cách 1. Lấy vế theo vế ta có được phương trình :

.
Với ta dễ dàng thấy hệ vô nghiệm.
Với ta có hệ trở thành : .
Với ta có hệ trở thành : .
Cách 2. Lấy vế theo vế ta có phương trình :
.
Thay vào ta có :

.
Vậy qua hai cách giải của ta có nghiệm của hệ .
Bình luận : Dựa vào đặc điểm đặc biệt của hệ số và các biểu thức có thể rút gọn ta đưa được nhiều ý tưởng giải hệ này. Hệ này cũng là một dạng thường gặp.
Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình

Phân tích : Với hệ này, ta chưa có thể dự đoán được gì từ hình thức của hệ. Nên ta sẽ biến đổi hệ lại cho dễ nhìn hơn.
Cụ thể ta có hệ được biến đổi trở thành :


.
Tơi đây mọi thứ đã rõ ràng vì trong hai hệ sinh ra từ hệ đầu đã có một hệ vô nghiệm, còn hệ còn lại chỉ cần nhân vế theo vế ta sẽ rút gọn được và đưa được phương trình đẳng cấp.
Lời giải : Điều kiện : .
Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ phương trình sau :

.
Với hệ dễ dàng thấy được hệ này vô nghiệm vì : (vô lí ).
Với hệ ta có :
Lấy vế theo vế ta có phương trình :


vì .
Thay vào ta có phương trình :

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm .
Bình luận: Bài toán chỉ cần sự biến đổi và nhóm nhân tử từ phương trình thứ nhất trong hệ ta sẽ tìm được lời giải cho bài toán một cách khá đơn giản.
Ví dụ 7 : Giải hệ phương trình
Phân tích : Cấu trúc hệ này khi được viết lại ta sẽ có hệ mới là :
.
Không khó để nhận thấy vế trái của hai phương trình trong hệ có tính đối xứng vì khi thay vai trò hai ẩn cho nhau thì chúng giống nhau. Nhưng do khác biệt về hệ số ở vế phải nên chúng ta không thể xem nó là đối xứng loại 2, vì vậy ta có thể xem nó là hệ nữa đối xứng.
Từ định dạng của vế trái hai phương trình trong hệ nên ta đẩy ý tưởng cộng chúng lại xem có thể đưa về được điều gì ?
Cụ thể ta có : .
Từ phương trình này ta linh cảm sẽ có hằng đẳng thức. Thật vậy ta có :

.
Và tới đây mọi chuyện đã được rõ ràng. Và hệ sẽ được giải quyết.
Lời giải :
Hệ phương trình đã cho được viết lại :
Lấy vế theo vế ta có được phương trình :

.
Thử lại với từng cặp nghiệm ta nhận được nghiệm của hệ phương trình đã cho là .
Bình luận : Đây là bài toán không khó lắm, chỉ cần tinh ý để ý tính nữa đối xứng của hệ và nhìn nhanh hằng đẳng thức là có thể giải quyết được hệ khá đơn giản.
Ví dụ 8 : Giải hệ phương trình
Phân tích : Với hệ này, ta nhận xét khi lấy hai phương trình cộng và trừ hai vế cho nhau ta sẽ thu được một hệ có vế trái ở mỗi phương trình sẽ gọn hơn vì ta đã rút gọn được bớt số hạng có mặt ở vế trái mỗi phương trình .
Cụ thể ta sẽ biến đổi hệ ban đầu ta sẽ có hệ :
Cộng và trừ vế theo vế của hai phương trình trong hệ ta sẽ được hệ :
.
Tới đây, ta hãy để ý tới vế phải của mỗi phương trình trong hệ với các hệ số quan trọng .
Khi đó ta liên kết với hai hằng đẳng thức :

Ta nhận thấy nếu cộng và trừ hai vế của hệ mới ta sẽ được hằng đẳng thức trên. Và như vậy hệ đã được giải quyết.
Lời giải : Điều kiện : .
Lấy vế theo vế ta được hệ phương trình :
.
Lấy vế theo vế ta có hệ phương trình :

.
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Bình luận : Bài toán này, cách giải xem qua có vẻ dễ nhưng thật chất bài toán không dễ như chúng ta tưởng. Nó đòi hỏi sự quan sát tinh tế và cần nắm chắc các hằng đẳng thức bậc cao hơn 3 mà ta thường dùng. Cụ thể ở đây là bậc 5, có đôi khi ta còn gặp bậc 6, bậc 7, bậc 8. Và thường các loại hệ này, người chế đề xuất phát từ hằng đẳng thức rồi chọn nghiệm và khai triển tung tóe ra. Việc của chúng ta là gom chúng lại và buộc phải gỡ được nút thắt hằng đẳng thức đó.
Ví dụ 9 : Giải hệ phương trình
Phân tích : Với hệ này, ta cũng nhận thấy từ cấu trúc của hệ cũng cho ta ý tưởng nếu lấy hai phương trình trong hệ cộng và trừ vế theo vế ta sẽ có được nhân tử chung. Do đó ta sẽ bước đầu đi thực hiện ý tưởng này.
Cụ thể ta lấy vế theo vế ta sẽ có :

Tới đây ta lại thấy ý tưởng ban đầu của chúng ta vẫn còn hữu dụng với hệ mới nên ta tiến hành như vậy với hệ mới.
Lấy vế theo vế ta có hệ : .
Với hệ mới nếu ta nhân vế theo vế ta lại được hằng đẳng thức. Do đó ta tiến hành ý tưởng này.
Cụ thể nhân vế theo vế hệ ta có phương trình :
.
Tới đây nếu ta quy đồng phương trình cuối ta sẽ được phương trình đẳng cấp. Xem như hệ đã cơ bản đã được giải quyết.
Lời giải : Điều kiện : .
Với ta có hệ trở thành : ( hệ vô nghiệm ).
Với ta có hệ trở thành : ( hệ vô nghiệm ).
Do đó ta chỉ giải hệ với .
Lấy vế theo vế ta có được hệ phương trình :

Lấy vế theo vế ta có được hệ phương trình :

Nhân vế theo vế trong hệ ta có được phương trình :




vì .
Với thay vào ta có phương trình :
.
Với thay vào ta có phương trình :
.
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là .
Bình luận : Đây là một dạng toán hệ khá hay, mấu chốt của loại hệ này là từ hệ ta sử dụng phương pháp cộng trừ và nhân chéo sẽ đưa về được hằng đẳng thức để áp dụng liên tục sẽ đưa được phương trình đẳng cấp. Loại này, có thể giải bằng một phương pháp khác mạnh đó là số phức. Nhưng nhược điểm của số phức là chỉ áp dụng được một số định dạng hệ này mà dưới mẫu có chứa và việc lựa chọn đặt số phức cũng là một kỷ năng không phải dễ với hầu hết học sinh.
Ví dụ 10 : Giải hệ phương trình
Phân tích : Hệ này về cấu trúc hình thức thì khác ví dụ 9 nhưng bản chất và cách giải thì như nhau.
Thật vậy, nếu ta xem thì hệ sẽ trở thành : .
Và như vậy, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp giải ví dụ 9 để trực tiếp giải hệ này mà không cần thông qua ẩn phụ.
Lời giải : Điều kiện :.
Nhận xét với không thỏa hệ. Do đó ta sẽ xét .
Hệ phương trình đã cho được biến đổi thành hệ phương trình :
.
Lấy vế theo vế ta có hệ phương trình :
Lấy vế theo vế ta có được phương trình :


vì .
Với thay vào ta có phương trình :

Đối chiếu điều kiện và thử lại ta có nghiệm của hệ là : .
Bình luận : Loại hệ này, xem qua cách giải thì hình như rất đơn giản nhưng thật chất đây là một loại hệ khó. Và do đặc điểm của hệ này gần với hệ ở ví dụ 9 nên người ta có thể dùng kỷ thuật phức hóa để giải hệ này. Và phải chăng nguồn gốc của loại hệ này là từ số phức?? Chứ nếu chọn đại một phương trình và ghép lại thì rõ ràng nó có gì đó rất ảo.
Ví dụ 11 : Giải hệ phương trình

Đại học An Ninh năm 1999
Phân tích : Quan sát hệ, ta nhận thấy cả hai phương trình trong hệ đều chứa hai đại lượng đó là nên ý tưởng chúng ta sẽ trừ vế theo vế hai phương trình để giản ước các đại lượng này và thiết lập mối quan hệ giữa hai biến và thực hiện phép thế.
Mặt khác chúng ta cũng dễ nhận thấy hai biến ở ngoài căn có dấu trái nhau nên ta cũng sẽ thực hiện cộng hai vế phương trình để giản ước đại lượng này.
Như vậy, qua hai bước cộng trừ ta sẽ đưa được hệ về hệ đơn giản hơn đó là :

Và từ đây hệ đã cho được giải quyết rất đơn giản.
Lời giải : Điều kiện : .
Lấy vế theo vế ta được hệ phương trình :



.
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là .
Bình luận : Đây là bài không khó và đề thi cũng đã khá lâu nhưng cách giải thông qua hệ này vẫn còn nguyên giá trị và nó đã khơi gợi sự ra đời của nhiều bài toán sau này có cách giải tương tự. Lời giải trong bài toán có lẻ là hướng đi tự nhiên nhất cho bài toán này.
Ví dụ 12 :
Giải hệ phương trình .
Phân tích : Hệ này có cấu trúc cũng tựa tựa như ví dụ 11. Quan sát hệ ta nhận thấy ở cả hai phương trình trong hệ đều có hai đại lượng nên ta sẽ lên ý tưởng trừ vế theo vế hai phương trình này để thu khử bớt đại lượng đó, mặt khác khi trừ như vậy ta sẽ thu được phương trình bậc hai hai ẩn nên ta có quyền hy vọng sẽ bắt được nhân tử.
Cụ thể ta lấy hai phương trình trừ cho nhau vế theo vế ta thu được phương trình:
.
Ta có . Vậy phương trình bậc hai ta tách được nhân tử. Và như thế cơ bản hệ đã được giải quyết.
Lời giải : Điều kiện :.
Lấy vế theo vế ta có được phương trình :

.
Với , thì do . Vậy vô lí. Vậy loại.
Với thay vào phương trình trong hệ ta có phương trình :
.


.
Ta có được (*)là vì điều kiện để giải phương trình lúc này là . Mà với .
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là .
Bình luận : Bài toán này có độ khó hơn ví dụ 9 nhưng ý tưởng giải thì vẫn vậy. Ở việc rút xong nhân tử, ta cần quan sát chặt chẽ bài toán để tránh sai lầm cứ thế từng nhân tử vào rồi giải. Các điều này ở các phần trước chúng tôi cũng đã lưu ý khá nhiều. Các bạn cố gắng nắm chắc để tránh những bước đi lằng nhằng không cần thiết.
Ví dụ 13 :
Giải hệ phương trình
(Thi thử chuyên đại học Vinh lần 3 năm 2014)
Phân tích : Đây là một bài hệ hay, nhìn vào hệ thấy phương trình thứ nhất hai biến đã có tính phân ly nên từ đây có thể định hướng đưa về phương trình thứ nhất về dạng phương trình có tính đối xứng để bắt nhân tử. Tuy nhiên với cấu trúc sắp xếp các đại lượng chưa cho phép cho ta được biến đổi này. Do đó ý tưởng sẽ kết hợp cả hai phương trình trong hệ để có được phương trình dạng đối xứng.
Lại có phương trình thứ hai trong hệ là phương trình bậc hai với hai biến . Kiểm tra phương trình này không có delta chính phương nên hy vọng bắt nhân tử ở phương trình này cũng không giúp chúng ta được.
Quan tâm chính là sự khác biệt ở phương trình thứ nhất không giúp chúng ta đưa được về phương trình dạng đối xứng chính là sự sai biệt của hai đại lượng đối với và đối với . Và mục đích bắt nhân tử ở dạng đối xứng có chứa căn là khử căn.
Từ nhận xét này ta thử phép tính sau :
.
Vậy nếu khử căn thì ta cần có mối quan hệ giữa hai biến là . Khi đó ta có :

.

Như vậy khi cho ta .
Do đó ta sẽ đưa ý tưởng là lấy (1) – (2) vế theo vế.
Cụ thể lấy vế theo vế ta được phương trình :


Với điều kiện của hệ thì biểu thức trong ngoặc đã rõ ràng về dấu nên ta đã có được nhan tử như dự đoán. Vậy xem như hệ đã được giải quyết.
Lời giải : Điều kiện: .
Với ta nhận thấy không thỏa hệ. Do đó ta chỉ cần xét với .
Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được phương trình :



Với . Do đó từ ta có .
Thay vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình :
.
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là .
Bình luận : Với bài toán này, thật chất chúng ta là rút vào phương trình thứ nhất để đưa về phương trình dạng hai biến phân ly có tính đối xứng rồi xét hàm số. Nhưng với quan điểm của chúng tôi, cách thế ấy quá “ảo diệu” không phải học sinh nào cũng có thể cho một phép “lạ, hiểm” như vậy cả. Trên tinh thần của hệ số bất định mà chúng ta tôi đã đi được đến lời giải như vậy. Để có được điều đó thì từ sự phân ly giữa các biến ỏ phương trình thứ nhất chúng tôi hướng đến định dạng đối xứng ( xét hàm số hoặc liên hiệp bắt nhân tử chung) nên chúng tôi nghỉ đến phép khử căn thức. Các căn thức đã rạch ròi về biến nên phép thử cho hai căn thức bằng nhau để tìm mối quan hệ giữa hai biến là một tư duy tự nhiên. Việc còn lại chính là chúng ta đem thử lại tính đúng trong hai phương trình. Chú ý rằng với hệ này nếu xét tính đơn điệu, nếu chọn hàm số không khéo thì khi chứng tỏ hàm đơn điệu sẽ qua bước đạo hàm cấp 2 khá rối. Tuy nhiên, dựa trên định dạng tính phân ly giữa biến và tính đối xứng của phương trình sẽ cho lời giải tự nhiên và đẹp.
Ví dụ 14:
Giải hệ phương trình .
(Thi thử lần 1 chuyên quốc học Huế 2015)
Phân tích : Bài toán này đã được người chế đề che giấu kỉ hơn, do tính hình thức của bài toán nên việc giải hệ này ý tưởng là cần phối hợp cả hai phương trình trong hệ vì từ từng phương trình trong hệ ta không thể làm được gì để có nhân tử chung. Việc xuất hiện hai căn thức mà mỗi căn thức chỉ chứa hoặc nên ta có thể ẩn phụ để khử căn thức. Nhưng khi ẩn phụ hóa thì ta sẽ đưa bậc của đa thức sẽ cao hơn bậc ban đầu.
Vậy mục đích là khử căn thức, vậy ta sẽ thử phép tính sau :
. Khi đó ta có :


Và như vậy với ta luôn có . Do đó ta sẽ lên ý tưởng là lấy (1) – (2) vế theo vế để bắt được nhân tử chung.
Cụ thể lấy (1) – (2) vế theo vế ta sẽ có được phương trình :


.
Tới đây từ điều kiện có được của hệ ta sẽ có được nhân tử chung như dự đoán. Vậy hệ đã được giải quyết.
Lời giải : Điều kiện: .
Nhận xét với không thỏa hệ. Do đó ta chỉ cần xét .
Lấy (1) – (2) vế theo vế ta sẽ có được phương trình :


.
Vì . Do đó từ ta có .
Thay vào phương trình (2) ta có được phương trình :




vì
.
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là :
.
Bình luận : Bài toán này có ý tưởng tương tự như ví dụ 13, nhưng ngay từ đầu cấu trúc của hệ cho ta hướng đi hẹp hơn vì không chứa một phương trình bậc hai hai biến như ví dụ 13. Về lời giải của phương trình tìm nghiệm, có thể bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 tách được nhân tử.
Ví dụ 15 :
Giải hệ phương trình
Phân tích : Với hệ này, ta chẳng phán đoán được gì từ hình thức của hệ nên trước hết ta sẽ biến đổi hệ một chút cho bớt căn thức vì phương trình thứ nhất của hệ có dạng cơ bản và khi sử dụng nâng lũy thừa thì sẽ thu được phương trình bậc hai hai ẩn và hy vọng sẽ bắt được nhân tử.
Cụ thể ta biến đổi hệ trở thành hệ phương trình :


Kiểm tra phương trình bậc hai ẩn trong hệ mới ta thấy không có delta chính phương nên việc bắt nhân tử chung từ phương trình này xem như thất bại.
Với hệ mới ta chỉ còn một căn thức và có thể ẩn phụ hóa căn thức nhưng nếu như vậy ta sẽ đưa hệ về một hệ chứa hai phương trình đa thức có