BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP
1) Cho tứ giác
nội tiếp
. Gọi
là giao điểm của
.
là giao điểm của
và
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại điểm
khác
. Tiếp tuyến của
tại
cắt nhau tại
.
a) Chứng minh tứ giác
nội tiếp
b) Chứng minh
thẳng hàng.
2) Cho đường tròn
đường kính
. Trên tiếp tuyến tại
của
lấy điểm
Vẽ cát tuyến
(tia
nằm giữa 2 tia
,
a)
b)
c)
3)

a)
d)
4)

5)

,

nằm giữa

). Gọi

là giao điểm của

và
,
là giao điểm của
và
,
Vẽ tiếp tuyến
của
. Chứng minh
là tứ giác nội tiếp
Vẽ
tại . Chứng minh
là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh
thẳng hàng.
Cho tứ giác
nội tiếp
. Gọi là giao điểm
của
và
. Vẽ đường kính
. Gọi
là giao điểm
của
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác
tại điểm khác .
Chứng minh
là tứ giác nội tiếp
Chứng minh
thẳng hàng.
Cho tam giác nhọn
. Đường tròn
đường kính
cắt
tại
.
cắt
tại .
cắt
tại
. Chứng minh các tứ giác
nội tiếp.
Cho tam giác nhọn
các đường cao
cắt nhau tại
. Vẽ
tại
tại ,
. Gọi là điểm đối xứng của
qua . Chứng minh tứ giác
nội tiếp và

6) Từ điểm
nằm ngoài đường tròn
. Vẽ hai tiếp tuyến
là hai tiếp điểm) và một cát tuyến
đến
sao cho (
nằm giữa 2 tia

,

,Đường thẳng qua
330

song song với
đối xứng với

cắt
qua

lần lượt tại
. Gọi

. Gọi

là giao điểm của

là điểm
với

a) Chứng minh
là tứ giác nội tiếp.
b) Ba điểm
thẳng hàng.
7) Từ điểm
nằm ngoài đường tròn
. Vẽ hai tiếp tuyến
(
là hai tiếp điểm). Từ điểm
nằm trên cung
(
nằm
cùng phía
) dựng tiếp tuyến cắt
tại
.
cắt
tại
. Gọi là giao điểm của
. Chứng minh
là các tứ giác nội tiếp.
8) Cho tam giác nhọn
. Đường tròn
đường
kính
cắt
tại
.
cắt
tại
, các tiếp tuyến
của
tại
cắt nhau tại
.
Vẽ tiếp tuyến
của
với
thuộc cung nhỏ
,
,
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt
tại .
a) Chứng minh các tứ giác
nội tiếp
b) Ba điểm
thẳng hàng.
c) Ba điểm
thẳng hàng.
d) Ba điểm
thẳng hàng.
9) Cho tam giác nhọn
nội tiếp đường tròn
có hai đường cao
cắt nhau tại . Gọi
là trung điểm của
. Giả sử
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại .
a) Chứng minh
thẳng hàng.
b) Giả sử
cắt
tại . Chứng minh
thẳng hàng.
10) Cho tam giác
ngoại tiếp
. Gọi
là tiếp điểm của
với
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
.
Đường thẳng
cắt
tại .
a) Chứng minh
là tứ giác nội tiếp
b) Ba điểm
thẳng hàng.
11) Cho tam giác
có ba đường cao
cắt nhau tại
.
Từ
ta dựng các tiếp tuyến
đến đường tròn đường kính
.
331

a) Chứng minh các tứ giác
nội tiếp
b) Chứng minh ba điểm
thẳng hàng.
12) Cho tam giác nhọn
có các đường cao
cắt nhau tại
điểm . Gọi
là trung điểm của
. Các phân giác của
góc

cắt nhau tại

.

a) Chứng minh 5 điểm
nằm trên một đường tròn. Điểm
là trung điểm cung nhỏ
.
b) Ba điểm
thẳng hàng.
13) Cho tam giác nhọn
có các đường cao
cắt nhau tại
điểm .Đường thẳng
cắt nhau tại điểm
. Gọi
là trung
điểm
. Giả sử các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là .
a) Chứng minh các tứ giác
là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh
là tam giác vuông.
14) Cho tam giác nhọn
có trực tâm là điểm . Gọi
là chân
các đường cao hạ từ
của tam giác
.Gọi
là điểm trên
cạnh

. Gọi

là đường tròn đi qua các điểm

là đường tròn đi qua các điểm
đường kính của
15) Cho tam giác
cạnh

.

lần lượt là

. Chứng minh
có

gọi

thẳng hàng.

là góc lớn nhất. Các điểm

sao cho

. Gọi

thuộc
lần lượt là

các điếm đối xứng của
qua
. Chứng minh rằng:
nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
16) Cho tam giác
nội tiếp đường tròn
. Lấy một điểm
cung

không chứa điểm

qua

tiếp xúc với

.

của
cắt

. Gọi
tại

cắt
trên

là đường tròn đi
khác

. Gọi

là

đường tròn qua
đồng thời tiếp xúc với
.
cắt
tại
khác .Gọi
là điểm đối xứng với
qua
.
a) Chứng minh
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam
giác
.
332

b) Ba điểm
17) Cho tam giác

thẳng hàng.
, trên hai cạnh

sao cho

lần lượt lấy hai điểm

. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

cắt tia
tại
.Gọi
là giao điểm của
. Đường tròn
ngoại tiếp tam giác
cắt tia
tại
a) Chứng minh 4 điểm
cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi

là giao điểm thứ 2 của các đường tròn

Chứng minh
thẳng hàng.
c) Chứng minh : Tam giác
cân tại

.

.

18) Cho tam giác
có
theo thứ tự là tâm đường tròn
ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh
của tam giác. Gọi
là tiếp điểm của
với
điểm chính
giữa cung
điểm của

của

,

. Gọi

là giao

là tứ giác nội tiếp
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

c) Chứng minh:

.

19) Cho đường tròn tâm
có độ dài

tại điểm

và

a) Chứng minh:
b) Chứng minh

cắt

bán kính
. Điểm

và một dây cung

thay đổi trên cung lớn

cố định
. Gọi

là điểm đối xứng của
lần lượt qua
. Các đường
tròn ngoại tiếp tam giác
cắt nhau tại giao điểm thứ 2 là
.
a) Chứng minh điểm
luôn thuộc một đường tròn cố định
b) Xác định vị trí điểm
để tam giác
có diện tích lớn nhất và
tìm giá trị lớn nhất đó theo
c) Gọi
là giao điểm của
. Chứng minh tam giác
và đường thẳng
luôn đi qua điểm cố định.
20) Từ điểm
nằm ngoài đường tròn
. Vẽ hai tiếp tuyến
là hai tiếp điểm) và một cát tuyến
đến
sao cho (
nằm giữa 2 tia
333

,

, Gọi

là điểm đối

xứng của
qua
,
là giao điểm của
. Chứng minh:
thẳng hàng.
21) Từ điểm
nằm ngoài đường tròn
. Vẽ hai tiếp tuyến
là hai tiếp điểm) và một cát tuyến
đến
sao cho (
nằm giữa 2 tia

,

và

) Vẽ

đường thẳng qua
vuông góc với
cắt
tại
cắt
. Vẽ
.
a) Chứng minh:
nội tiếp
b) Chứng minh đường thẳng
đi qua trung điểm của
22) Cho tam giác nhọn
nội tiếp
.Các đường cao
cắt nhau tại . Tiếp tuyến tại
của
cắt nhau tại .
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Giả sử

tại

a) Chứng minh 5 điểm
cùng nằm trên một đường tròn
b) Chứng minh
thẳng hàng.
23) Cho
và
không giao nhau. Vẽ
lấy hai điểm
thuộc
sao cho
. Lấy điểm
thuộc đường tròn
.
Dựng các cát tuyến qua
và điểm
cắt đường tròn
lần
lượt tại

,

. Dựng đường thẳng qua

cắt tiếp tuyến tại
của
ở .Dựng
tại .
a) Chứng minh tứ giác
là tứ giác nội tiếp
b) Ba điểm
thẳng hàng
24) Cho tam giác
có đường tròn nội tiếp là
tiếp xúc với ba
cạnh
lần lượt tại
. Trên đoạn
lấy điểm
và dựng đường tròn tâm bán kính
. Dựng
là các tiếp
tuyến của
tại
. Gọi
,
a) Chứng minh
nội tiếp
b) Ba điểm
thẳng hàng.
25) Cho 3 đường tròn
nhau tại điểm

và

. Tiếp tuyến của

biết

tiếp xúc ngoài với

lần lượt tiếp xúc trong với

tại

tại

.

cắt

lần lượt tại

334

Đường thẳng

cắt

tại điểm

tại điểm

cắt

.

a) Chứng minh tứ giác
b) Kẻ đường kính
cung

, đường thẳng

nội tiếp và
của

sao cho

không chứa điểm

( Điểm

). Chứng minh rằng nếu

không song song thì các đường thẳng

đồng quy.

26) Cho tam giác
không cân. Đường tròn
tiếp xúc với các cạnh
lần lượt tại
thẳng
cắt
lần lượt tại
a) Chứng minh các góc

nội tiếp tam giác
. Đường

bằng nhau hoặc bù nhau.

b) Chứng minh điểm
tròn.Chứng minh
ngoại tiếp tam giác
27) . Cho tam giác

nằm trên

cùng nằm trên một đường
thẳng hàng. Biết
là tâm đường tròn
.
nội tiếp đường tròn
và

. Kẻ

vuông góc với đường kiính

.
a) Chứng minh
b) Qua trung điểm
song với
cắt

.
của đoạn thẳng
kẻ đường thẳng song
tạ i
. Chứng minh
cân.

28) Cho tam giác nhọn
đường phân giác trong
Vẽ đường tròn tâm

. Vẽ đường cao
của tam giác
tiếp xúc với

a) Chứng minh các điểm
b) Chứng minh

335

(

và
thuộc

lần lượt tại

).
.

cùng thuộc một đường tròn.
.

c) Qua
kẻ đường thẳng vuông góc với
thẳng
cắt
tạ i
. Chứng minh
.
29) Cho nửa đường tròn

cắt
tại . Đường
là trung điểm cạnh

đường kính

và

điểm di động trên nửa đường tròn sao cho
(
tia

và

khác
,

và

khác

cách từ
b) Gọi

). Gọi

là giao điểm của
và

.

.

lần lượt là trung điểm

thẳng hàng và

và

. Chứng minh

.

c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác
30) Cho nửa đường tròn

và

nội tiếp đường tròn và tính khoảng

đến đường thẳng
và

thuộc cung

là giao điểm của dây

a) Chứng minh tứ giác

là hai

theo

đường kính

. Giả sử

.
là điểm

chuyển động trên nửa đường tròn này, kẻ
vuông góc với
tạ i
. Từ
kẻ đường thẳng song song với
cắt tiếp
tuyến tại

với nửa đường tròn

a) Chứng minh bốn điểm
b) Giả sử

.

cùng thuộc một đường tròn.

là hình chiếu của

Chứng minh ba đường thẳng
c) Gọi

ở

trên đường thẳng

và

.

đồng quy.

lần lượt là trung điểm của
và
. Xác định vị trí
để diện tích tứ giác
đạt giá trị lớn nhất.

31) Cho hình vuông
, trên đường chéo
lấy điểm sao cho
. Đường thẳng đi qua vuông góc với
cắt
tạ i
,
cắt
tạ i
.
a) Chứng minh rằng

.

336

b) Đường tròn tâm
bán kính
Chứng minh rằng:
32) Cho đường tròn

cắt

tại điểm thứ hai

.

.

và một điểm

Đường tròn đường kính

nằm ngoài đường tròn.

cắt đường tròn

tại hai điểm

.
a) Chứng minh giao điểm

của đoạn thẳng

với đường tròn

là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
b) Cho
là một điểm bất kỳ thuộc cung
đường tròn đường kính
( khác
cắt đoạn thẳng
c) Cho biết
điểm

.

chứa điểm
c ủa
và ). Đoạn thẳng

tạ i

. Chứng minh

và

là điểm bất kỳ thuộc cung

của đường tròn

(

khác

.

và

chứa

). Gọi

là đường

thẳng qua
và vuông góc với đường thẳng
tại điểm ,
cắt đường tròn đường kính
tại điểm
(
khác ). Hai
đường thẳng
và
cắt nhau tại điểm . Chứng minh rằng:
.
33) Cho tam giác

cân tại

nội tiếp đường tròn

. Gọi

điểm chính giữa của cung nhỏ
. Hai đường thẳng
cắt nhau tại
. Chứng minh rằng:
a)

là

và

.

b)

.

34) Cho hai đường tròn

và

cắt nhau tại

và

. Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó chúng
cắt nhau ở
trên với
337

. Gọi

và

là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến

là tiếp điểm của tiếp tuyến

với

(điểm
thẳng
a) Gọi

b)

và điểm

ở cùng nửa mặt phẳng bờ là

cắt

tạ i

(điểm

là giao điểm của đường thẳng
, từ đó suy ra

cắt
tạ i
một đường tròn.

). Đường

khác điểm
với

).

. Chứng minh

.

. Chứng minh bốn điểm

c) Chứng minh đường thẳng
ngoại tiếp
.

nằm trên

là tiếp tuyến của đường tròn

35) Cho nửa đường tròn tâm
đường kính
, trên nửa đường tròn
lấy điểm
(cung
nhỏ hơn cung
), qua
dựng tiếp
tuyến với đường tròn tâm
cắt
tạ i . K ẻ
vuông góc
với
cắt

, kẻ
tạ i

a) Chứng minh

vuông góc với

;

.
là phân giác của

b) Chứng minh

.

c) Chứng minh
36) Cho tam giác nhọn

.

.
nội tiếp đường tròn

. Cho

là điểm

bất kỳ trên đoạn
sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt đoạn
tạ i
khác
và đường tròn ngoại tiếp tam
giác
cắt đoạn
tạ i
khác .
a) Chứng minh rằng

.

b) Chứng minh rằng
c) Chứng minh rằng
37) Trên nửa đường tròn
trước) lấy hai điểm

và
là trực tâm tam giác
đường kính
(

khác

.
.
(
) sao cho

là độ dài cho
thuộc
338

và tổng các khoảng cách từ
bằng

.

a) Tính độ dài đoạn thẳng
b) Gọi

đến đường thẳng

theo

là giao điểm của
và
. Chứng minh bốn điểm

.
,

là giao điểm của
và
cùng nằm trên một đường

tròn. Tính bán kính của đường tròn đó theo
c) Tìm GTLN của diện tích tam giác
trên nửa đường tròn

và

Vẽ đường thẳng
nằm giữa

tuyến của

theo

qua
và

tạ i

cắt

tạ i

và cắt

. Tiếp tuyến của

cắt nhau tại

tạ i

39) Cho đường tròn
thay đổi sao cho
cắt

tạ i

.
sao

và tiếp

nội tiếp
.

có đường kính

cố định và đường kính

không vuông góc cũng không trùng với

là tiếp tuyến tại
tương ứng tại

a) Chứng minh rằng

c ủa
và

. Các đường thẳng
.

là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi

là trung điểm của

, chứng minh rằng

c) Gọi
rằng

là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
.

d) Gọi
là trực tâm của tam giác
chạy trên một đường tròn cố định.
339

và

.

b) Chứng minh rằng

và

thay đổi

cắt nhau tại hai điểm

a) Chứng minh rằng tứ giác

. Gọi

khi

nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán.

38) Cho hai đường tròn

cho

.

.
. Chứng minh

, chứng minh rằng

luôn

40) Cho tam giác
tâm

vuông ở

, đường kính

theo thứ tự tại
a)

, đường cao

, đường tròn này cắt các cạnh

và

.

Chứng minh tứ giác

là tứ giác nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh ba điểm

thẳng hàng.

c) Cho biết

. Tính diện tích tứ giác

41) Cho tam giác

của

. Gọi

lần lượt là các tiếp điểm

với đường tròn

đường thẳng
tại điểm

. Gọi

và đường thẳng
(

cắt đường tròn

), gọi

là giao điểm của

.

b) Chứng minh
42) Từ một điểm

cùng thuộc một đường tròn.

là tiếp tuyến của đường tròn
nằm ngoài đường tròn

tới đường tròn

,(

một điểm thuộc cung nhỏ
chính giữa của

). Kéo dài

tại điểm thứ hai là

vuông góc với
. Gọi

là giao điểm của

, biết

không trùng với

a) Chứng minh rằng các điểm

tròn

.

không là tam giác cân, biết tam giác

ngoại tiếp đường tròn

và

. Vẽ đường tròn

tại điểm

là giao điểm của

a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh năm điểm

.

kẻ hai tiếp tuyến

là hai tiếp điểm). Gọi
của đường tròn
cắt

tại điểm

. Qua điểm

khác điểm
, cắt đường

kẻ đường thẳng

và cắt đường thẳng
và

,(

là

tại điểm

.
.
cùng thuộc một đường tròn.

340

43) Cho đường tròn
thuộc

(

khác

cắt nhau ở
thẳng
a)

tạ i

.

Ba điểm

cố định,

là một điểm

). Các tiếp tuyến của

. Đường tròn

đi qua

tạ i

và

và tiếp xúc với đường

là đường kính của

. Chứng minh rằng:

thẳng hàng.

b) Tam giác
c)

có đường kính

là tam giác cân.

Đường thẳng đi qua

và vuông góc với

điểm cố định khi

luôn đi qua một

di động trên đường tròn

.

44) Cho tam giác
nhọn nội tiếp đường tròn tâm , đường cao
và
. Tiếp tuyến tại
và
cắt nhau tại ,
và
cắt nhau tại
.
a) Chứng minh rằng

.

b) Hai tam giác
c) Gọi

cắt

và
tạ i

đồng dạng.
,

cắt

tạ i

. Chứng minh rằng

.
45) Cho tam giác
tròn tâm
cạnh
đoạn
a) Tính

vuông tại

. Gọi

ngoại tiếp đường

lần lượt là tiếp điểm của
;

cắt

tạ i

.

với các

là điểm di chuyển trên

.
.

b) Gọi

là giao điểm của
thì tứ giác

và
. Chứng minh rằng nếu
nội tiếp.

c) Gọi

là giao điểm của

với cung nhỏ

lần lượt là hình chiếu của
định vị trí của điểm
341

có

để

c ủa

trên các đường thẳng
lớn nhất.

,

và
. Xác

46) Cho tam giác nhọn

nội tiếp đường tròn

điểm thuộc đoạn thẳng

(

. Giả sử

không trùng

),

là

là điểm

thuộc tia
(
nằm trên đường thẳng
sao cho
nằm giữa
và
) sao cho khi
cắt
tại thì là trung điểm của
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
khác

tại điểm

.

a) Chứng minh rằng các tứ giác
b) Giả sử

và

nội tiếp.

, chứng minh rằng tam giác

47) Cho

có

. Đường tròn tâm

tiếp xúc với cạnh
thẳng
cắt

cắt

cân.

nội tiếp tam giác

lần lượt tại

tạ i
, đường thẳng qua
theo thứ tự tại
.

a) Chứng minh rằng các tứ giác
b) Gọi

cắt

là trung điểm cạnh

. Đường

và song song với

và

nội tiếp.

. Chứng minh ba điểm

thẳng hàng.
c) Gọi

là bán kính của đường tròn
. Tính

theo

và

là diện tích tứ giác

. Chứng minh

(

là diện tích

).
48) Cho hình vuông
nhỏ

lấy điểm

nội tiếp đường tròn
(

không trùng với

các đường thẳng
đường thẳng
cắt nhau tại

lần lượt tại
lần lượt tại

và

. Trên cung
và

). Tia

. Tia

cắt
cắt các

. Hai đường thẳng

.

a) Chứng minh rằng tứ giác

là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng

.

342

c) Khi điểm
ở vị trí trung điểm của
đoạn
theo .
49) Cho tam giác

. Hãy xác định độ dài

. Trên phân giác

sao cho

có hai điểm

. Chứng minh rằng

50) Cho hình thoi

có

thay đổi qua
cắt
điểm của
và
đường tròn cố định.

.

. Một đường thẳng

lần lượt tại
. Chứng minh rằng

. Gọi
là giao
thuộc một

51) Cho tam giác

vuông tại .
. Gọi
là một
điểm trên cạnh
,
là một điểm trên cạnh
kéo dài về
phía
sao cho
. Gọi
là một điểm trên
sao cho
thuộc cùng một đường tròn,
là giao
điểm thứ hai của
với đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Chứng minh rằng
.

52) Cho tam giác

có

nội tiếp trong đường tròn

, ngoại tiếp đường tròn
chính giữa.
với

là trung điểm cạnh

qua

. Đường thẳng

thứ hai . Lấy điểm
minh rằng:
a) Điểm

. Cung nhỏ
. Điểm

là điểm

đối xứng

cắt đường tròn

thuộc

thuộc cung nhỏ

có

tại điểm

sao cho

. Chứng

của đường tròn

.

b) Tứ giác
nội tiếp và
.
53) Cho
là một điểm nằm trong tam giác
. Gọi
lần lượt là các điểm đối xứng của
qua . Chứng
minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác
có điểm chung.
54) Cho tam giác
và
343

nội tiếp đường tròn

của góc

và

. Tia

cắt

. Hai phân giác
tại

. Gọi

lần lượt là hình chiếu vuông góc của
. Chứng minh rằng:
.

a)
b)

xuống

.

55) Cho tam giác nhọn
kính

. Đường tròn đường

cắt các cạnh

trung điểm của

tương ứng tại

. Đường phân giác của

. Gọi

là

và

cắt nhau tại . Chứng minh rằng đường tròn ngoai tiếp tam
giác
và
cùng đi qua một điểm nằm trên cạnh
.
56) Cho tứ giác
có đường chéo
không là phân giác của
các góc
và
. Một điểm
nằm trong tứ giác sao
cho:

. Chứng minh rằng tứ giác

nội tiếp khi và chỉ khi
.
57) Ba tia
chung gốc . Lấy cặp điểm
trên
, lấy
cặp điểm
trên
, lấy cặp điểm
trên
theo thứ
tự đó kể từ sao cho
. Chứng minh
rằng tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác
và thẳng hàng.
58) Cho
là một dây cung khác đường kính của đường tròn
. Điểm

thay đổi trên cung lớn

. Đường tròn bàng

tiếp góc của tam giác
tiếp xúc với cạnh
lần lượt tại
.
a) Tìm vị trí của
để chu vi tam giác
đạt giá trị lớn nhất.
b) Chứng minh rằng đường thẳng Ơ-le của tam giác
luôn
đi qua một điểm cố định.
59) Cho hai đường tròn
Một đường tròn
Giả sử

và

tiếp xúc ngoài với nhau.

thay đổi tiếp xúc ngoài với

là một đường kính của

sao cho

và

.

là
344

một hình thang
với

. Gọi

. Chứng minh rằng

là giao điểm của

thuộc một đường thẳng cố

định.
60) Cho tam giác
có là tâm đường tròn nội tiếp,
đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm . Giả sử rằng
. Chứng minh rằng
61) Cho hình chữ nhật

và

là tâm

song song.

và bốn đường tròn
sao cho
. Gọi

là hai tiếp tuyến chung

ngoài của

và

;

là hai tiếp tuyến chung

ngoài của

và

. Chứng minh rằng tồn tại một

đường tròn tiếp xúc với cả bốn đường thẳng

.

62) Cho tứ giác
với nhau tại

có hai đường chéo
và
vuông góc
. Gọi
lần lượt đối xứng với qua
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt tại
tại . Chứng minh rằng bốn điểm
cùng thuộc
một đường tròn.
63) Cho tam giác
cân tại , trên cạnh
lấy
sao cho
và trên đoạn
lấy
sao cho
. Chứng minh rằng
64) Cho tứ giác
nội tiếp. Gọi
đường vuông góc của
xuống

.
lần lượt là các chân
. Chứng tỏ rằng

khi và chỉ khi phân giác các góc
nhau trên
.
65) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn
hai điểm

và

nhau ở điểm

. Các tiếp tuyến tại
. Giả sử

nhưng không trùng vào
345

và
và

và

cắt

cắt nhau ở
của

cắt

là một điểm nằm trên
và

. Đường thẳng

cắt

ở điểm thứ hai

, đường thẳng

và đường thẳng

cắt

tiếp xúc với

(cung không chứa

. Chứng

nằm trên đường thẳng

nội tiếp đường tròn

nằm trong

ở điểm thứ hai

ở điểm thứ hai

minh rằng trung điểm của
66) Cho tam giác

cắt

tại

. Đường tròn
thuộc cung

). Kẻ các tiếp tuyến

tới

. Chứng minh rằng
67) Cho hai đường tròn
tròn

.
và

cùng tiếp xúc với đường

. Tiếp tuyến chung của

điểm. Gọi

và

cắt

là hai trong bốn điểm đó sao cho

về cùng một phía đối với

nội tiếp đường tròn

rằng

tại bốn
nằm

. Chứng minh rằng

song với một tiếp tuyến chung ngoài của
68) Cho tứ giác

.

và

song
.

. Chứng minh

.

69) Cho tam giác
cách

cân ở . Kí hiệu
lần lượt là khoảng
từ một điểm
nằm trong tam giác tới

các đường thẳng

. Giả sử

, chứng minh

rằng
thuộc một đường tròn cố định.
70) Cho tam giác nhọn
. Điểm
thay đổi trên
. Đường
tròn tâm
bán kính
cắt
lần lượt tại các điểm
thứ hai
. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác
thuộc một đường thẳng cố định.
71) Cho tứ giác
nội tiếp đường tròn tâm . Gọi
lần lượt là trực tâm của các tam giác
. Chứng minh bốn điểm
cùng nằm trên một đường tròn.

346

72) Điểm

nằm trong tam giác

và thỏa mãn

. Chứng minh rằng ba đường thẳng
Ơ-le của các tam giác
và
đồng quy.
73) Gọi
và
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
và trực tâm của tam giác
. Chứng minh rằng: Nếu
đường tròn ngoại tiếp tam giác
đi qua một trong các
đỉnh của tam giác
thì phải đi qua một đỉnh khác của
tam giác
.
74) Cho tam giác
nội tiếp đường tròn , trực tâm ,
đường cao

. Giả sử một đường thẳng qua

vuông góc với
cắt
lần lượt tại
. Các tia
cắt
thứ tự tại
. Chứng minh rằng tứ
giác
nội tiếp.
75) Tam giác
có trực tâm , đường cao
. Điểm
trên
đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Vẽ các hình bình hành
và
. Giao điểm
và
là . Chứng minh
rằng
song song với
.
76) Cho tam giác
nội tiếp đường tròn tâm . Một đường
tròn

qua

Đường tròn

và

cắt các cạnh

qua ba điểm

Chứng minh rằng

lần lượt tại
cắt

.

tại

.

.

77) Cho hai đường tròn

và

cắt nhau tại

và

. Giả sử

là hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn này
, điểm
đường thẳng qua
giác

và

347

hơn

). Gọi

là

tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam
là đường thẳng qua

tròn ngoại tiếp tam giác
thẳng

gần

tiếp xúc với đường

. Chứng minh rằng các đường

đồng quy.

78) Cho hai đường tròn
chứa trong

). Giả sử

. Qua

và

và

và

tiếp xúc trong tại
và

là hai điểm bất kỳ thuộc

kẻ các tiếp tuyến với
nằm trên

79) Cho hai đường tròn

tại

.

và

tiếp xúc ngoài với nhau tại

và cùng tiếp xúc trong với
với

và

cắt

tại

với

và

cắt

tại

bờ

với

. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
. Qua
(

kẻ tiếp tuyến chung

thuộc cùng nửa mặt phẳng

. Chứng minh rằng

nội tiếp tam giác
80) Cho tam giác

cân đỉnh
. Qua

cắt

là tâm đường tròn

.

cho

lần lượt tại

song với
. Gọi
minh rằng tứ giác

. Điểm

nằm trong tam giác sao

kẻ đường thẳng song song với
. Vẽ

lần lượt song

là giao điểm của
là tứ giác nội tiếp.

81) Cho tam giác nhọn

và

cắt nhau tại

a) Chứng minh rằng

.
nội tiếp đường tròn.

là tia tiếp tuyến của đường tròn

nửa mặt phẳng bờ
có chứa điểm
. Từ đó suy ra
.
song song với

cắt

. Chứng minh rằng

không trùng với

nằm trên

và

. Đường
lần lượt tại

.

, đường kính
),

, tia

. Chứng minh rằng

là giao điểm của hai đường thẳng

82) Cho đường tròn tâm

,

.

b) Chứng minh rằng các tứ giác

thẳng đi qua

. Chứng

nội tiếp đường tròn

các đường cao

d) Gọi

cắt

. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp các

tam giác

c) Vẽ tia

(

. Lấy

thuộc

là điểm chính giữa của cung nhỏ

(
.
348

Các đường thẳng
và
cắt nhau tại
.

cắt nhau tại

a) Chứng minh

và

b) Chứng minh tứ giác

nội tiếp.

c) Đường thẳng

cân .

cắt tiếp tuyến tại

minh đường thẳng

, các đường thẳng

c ủa

ở

là tiếp tuyến của

. Chứng
và

.
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại

(

không trùng với

cắt đường tròn

). Chứng minh

thẳng

hàng.
83) Cho tứ giác

nội tiếp đường tròn

. Hai đường chéo
chiếu của lên
và
cắt

tạ i

và
cắt nhau tại
là trung điểm của

(

khác

và
.
a) Chứng minh rằng tứ giác

đường tròn

). Gọi

là giao điểm của

cố định. Từ một điểm

cố định ở bên ngoài

và

với đường tròn (

là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua
và

(

. Gọi
là hình
. Đường tròn

thẳng hàng.

, kẻ các tiếp tuyến

tại hai điểm

, đường kính

nội tiếp.

b) Chứng minh rằng ba điểm
84) Cho đường tròn

tâm

nằm giữa

cắt đường tròn

và

). Gọi

là trung

điểm của dây
.
a) Chứng minh rằng
là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi
là giao điểm của
và
. Chứng minh rằng
.
c) Khi cát tuyến
thay đổi thì điểm chuyển động trên
cung tròn nào? Vì sao?Xác định vị trí của cát tuyến
để
.
85) Cho tam giác
tròn tâm

349

nhọn

đường kính

, đường cao
cắt

tạ i

. Gọi

. Vẽ đường
là điểm đối

xứng của

qua

tại điểm thứ hai
a) Chứng minh

,

cắt

tạ i

và cắt đường tròn

.
.

b) Chứng minh

là phân giác của

.

c) Chứng minh rằng điểm
tròn tâm

cùng thuộc một đường

. Và ba đường thẳng

đồng quy tại

một điểm.
d)

cắt đường tròn

tại điểm thứ hai

lượt là trung điểm của

và

. Gọi

lần

. Chứng minh rằng

thuộc

đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
86) Cho tứ giác
nội tiếp đường tròn đường kính
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
đều.
và
theo .
là trực tâm của tam giác
;
cắt

tam giác
a) Tính
b) Gọi

cắt

tạ i

d)

cắt

cắt
tạ i

tạ i

, tính

,

tia

nằm giữa hai tia
và
.
a) Chứng minh rằng

. Tính

.

.
. Vẽ hai tiếp tuyến

(

thuộc đường tròn
và

. Gọi

),

là giao điểm của

.

b) Chứng minh tứ giác

nội tiếp,

c) Chứng minh rằng
cắt đường tròn

theo

tiếp xúc với đường tròn

nằm ngoài đường tròn

và cát tuyến

d)

tạ i

.

. Chứng minh

ngoại tiếp tam giác
87) Cho điểm

,

. Chứng minh năm điểm

cùng thuộc một đường tròn
c) Đường tròn

và

.

.
tạ i

minh rằng các đường thẳng
trên đường thẳng
.

(

nằm giữa

). Chứng

cắt nhau tại một điểm

350

88) Cho
.

ở ngoài đường tròn

là điểm trên tia đối của tia

vuông góc với (
đường tròn

tạ i
tạ i

là điểm đối xứng của
qua
nhau.

351

. Vẽ các tiếp tuyến
. Đường thẳng

cắt
(

lần lượt tại
nằm giữa

qua

với

,

).

; cắt
cắt

tạ i

là điểm đối xứng của

. Chứng minh rằng hai đường tròn

và

tiếp xúc

.