Kỷ thuật hệ số không xác định
(U.C.T)




Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến ?! Câu trả lời là rất rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội, khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn nào đó. Nhưng bạn hãy quan niệm rằng đằng sau bất kì một điều gì luôn hàm chứa một ý nghĩa nhất định. Và cũng không phải ngẫu nhiên mà sự lí giải lại được hình thành. Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy. Đôi khi bạn không thể hiểu được tại sao người ta lại có thể tìm ra một lời giải trông có vẻ “kì cục” như thế !!! Phải chăng là lần mò và may rủi lắm mới tìm ra được ?
Câu trả lời lại một lần nữa được nhắc lại: mỗi lời giải đều có sự giải thích của riêng bản thân nó. Việc tìm ra lời giải đó phải đi qua một quá trình lập luận, thử, sai và đúng. Trong chuyên đề nho nhỏ này chúng tôi muốn giới thiệu đến các bạn một kĩ thuật cơ bản nhưng không kém phần hiệu quả trong việc chứng minh một số dạng của bất đẳng thức. Nó không giúp ta giải quyết tất cả các bài toán mà chỉ giúp ta tìm ra những lời giải ngắn gọn và ấn tượng trong một lớp bài toán nào đó. Một số bài toán tuy dễ đối với phương pháp này nhưng lại là khó đối với kỹ thuật kia. Đây cũng là điều hiển nhiên và dễ hiểu.




Mục lục
Phần 1. Bài toán mở đầu.
Phần 2. Khởi đầu cùng một số bài toán cơ bản.
Phần 3. Kĩ thuật chuẩn hóa và U.C.T
Phần 4. U.C.T và kỹ thuật phân tách các trường hợp
Phần 5. Kết hợp bất đẳng thức Vornicu Schur với U.C.T
Phần 6. Một dạng biểu diễn thú vị
Phần 7. Giải quyết một số bài toán mà điều kiện liên quan mật thiết đến nhau
Phần 8. U.C.T mở rộng
Phần 9. Lời kết
Phần 10. Bài tập áp dụng





Phần 1. Bài toán mở đầu

Bài toán. [Nguyễn Thúc Vũ Hoàng]
Cho
là các số thực dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng


Chứng minh. Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây


Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với


Hiển nhiên đúng với a là số thực dương.
Sử dụng các bất đẳng thức tương tự với b và c. Ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi
.

Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho bài toán “ đơn giản” này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” như vậy. Phải chăng là dự đoán một cách “vô hướng”. Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Câu trả lời là hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo 1 qui luật của nó. Ở các phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề này theo chiều hướng khá mới mẻ. Kỹ thuật này có tên là U.C.T, là viết tắt của 3 chữ cái đầu của cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique. Hay còn gọi là Kỹ Thuật Hệ số bất định. Đây là một kỹ thuật cơ bản và là nền tảng quan trọng trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó.

Phần 2. Khởi đầu cùng một số bài toán cơ bản

Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta.

Bài toán trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng ta chỉ từng đó thôi là không đủ. Nếu ta chứng minh bất đẳng thức sau


Rõ ràng không hoàn toàn đúng với a thực dương.
Đừng bỏ cuộc tại đây bởi vì ở cách trên ta chưa sử dụng điều kiện
.
Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng

(1)
Trong đó m và n là các hệ số chưa xác định.
Tương tự với biến b và c. Cộng vế theo vế ta có


Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện
. Thế vào (1) dẫn đến

(2)
Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số