PHẦN 1: ĐẠI SỐ
1. Chứng minh rằng với mọi
ta có:


Hướng dẫn giải:




2. Cho Chứng minh


Hướng dẫn giải:










3. Cho
thõa mãn Chứng minh rằng:


Hướng dẫn giải:




. (1)(2)(3) Suy ra

4. Cho các số thực
thõa mãn điều kiện: Chứng minh rằng

 Hướng dẫn giải: Áp dụng bắt đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:


Ta chứng minh Thật vậy, thực hiện các phćp biển đổi tương đương ta được
Mặt khác, theo giả thiết ta có suy ra yz<= 1 . Do đó
đúng. Từ đó suy ra
5. Xét phương trình vơi m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức trong đó
là hai nghiệm của phương trình trên.

Hướng dẫn giải:
Ta có với mọi Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm vơi mọi giá trị của
Theo hệ thức Viét, ta có:
và Từđó suy ra Vi nĉn Dấu " =" xảy ta khi vả chi khi
Vìnên Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi Vậy GTLN của
bằng 1 khi
vả GTNN của
bằng
khi
6. Giải hệ phương trình:


Hướng dẫn giải:


Điều kiện xác định: Ta có Theo bất đẳng thưc Cô-si ta có

Suy ra:

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có Do đô


Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi Thay
vào Phương trình (2) ta được:

vơi mọi
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện).
7 Cho các số thực dương
thỏa mãn Chứng minh rằng


Hướng dẫn giải: Trong ba số
luôn tồn tại hai số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử suy ra Do đó
hay Theo bắt đằng thưc Cô-si ta có Từ đó ta suy ra


Vây
8. Cho
là các số thực dương thoả mãn
vàChứng minh rằng


Hướng dẫn giải: Ta có


Từ đây suy ra Mặt khác ta có:


Khi đó áp dung BĐT AM-GM, ta thu được ngay đpcm.
9. Cho
là các số thực dương. Chứng minh rằng


Hướng dẫn giải:
TH1:

Mà
(do
), suy ra Lại có
nĉn suy ra


Vậy TH 1 được giải quyết.
TH2:

Để ý rằng




Mà
(điều này có được do
và
). Khi đó kết hợp với
suy ra:

Vậy TH2 được giải quyết.Khi đó bài toán được giải quyết hoàn toàn.
10. Giải phương trình

Hương dẫn giải: Điểu kiện xác định Đối vởi phương trình này, ta có 2 hướng giải cơ bản sau:
Cách 1: Lũy thừa hai vế phurơng trình



Cách 2: Phân tích thành hằng đẳng thức



Ngoài ra, ta có một số cách giải khác (những cách giải này sẽthìch hợp để giải các bài toán khác, khó hơn)
Cách 3: Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Đầu tiên, ta biến đổi phương trình như sau:


Đặt
và
thì ta có hệ: Do đó ta được
hoăc
Cách 4: Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình Đặt Ta có


Cách 5: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Đặt Khi đó Phương trình trở thành


Xem đây là phương trình bậc hai ẩn
với tham số ta có
Do đó ta tìm được
hoặc
Cách 6: Dùng lượng liên họp Phươngtrình đã cho tương đương:





Mặt khác dễ thấy với
thì
nên ta được
hoặc
là hai nghiệm của phương trình.
11. Giải hệ phương trình


 Hướng dẫn giải: Bằng cách nhẩm nghiệm, ta thấy hệ có nghiệm ta sẽ chứng minh nghiệm này là duy nhất.Hệ phương trình đã cho tương đương với



THl: Khi đó từ Phương trình thứ hai của (*), do
và
nên ta được
hay
(mâu thuẫn) Do đó trường hơp này loại.
TH2:
Chưng minh tương tư như TH1, ta cùng