PHẦN 1: ĐẠI SỐ
1. Chứng minh rằng với mọi ta có:
Hướng dẫn giải:




2. Cho . Chứng minh
Hướng dẫn giải:





3. Cho thõa mãn . Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:

. Từ (1)(2)(3) Suy ra
4. Cho các số thực thõa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng .

Hướng dẫn giải:
Áp dụng bắt đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

Ta chứng minh .
Thật vậy, thực hiện các phćp biển đổi tương đương ta được:
Mặt khác, theo giả thiết ta có , suy ra yz <= 1 .
Do đó đúng. Từ đó suy ra .

5. Xét phương trình , vơi m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức , trong đó là hai nghiệm của phương trình trên.
Hướng dẫn giải:
Ta có , với mọi .
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm vơi mọi giá trị của
Theo hệ thức Viét, ta có: và .
Từ đó suy ra .
Vi , nĉn .
Dấu " =" xảy ta khi vả chi khi .
Vì , nên . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy GTLN của bằng 1 khi vả GTNN của bằng khi .
6. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: .
Ta có: .
Theo bất đẳng thưc Cô-si ta có
Suy ra:
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có . Do đô

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi .
Thay vào Phương trình (2) ta được:

vơi mọi
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (thỏa mãn điều kiện).
7 Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Trong ba số luôn tồn tại hai số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử , suy ra .
Do đó hay .
Theo bắt đằng thưc Cô-si ta có . Từ đó ta suy ra

Vây .
8. Cho là các số thực dương thoả mãn và . Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
Ta có

Từ đây suy ra .
Mặt khác ta có:

Khi đó áp dung BĐT AM-GM, ta thu được ngay đpcm.

9. Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải:
• TH1:

Mà (do ), suy ra . Lại có nĉn suy ra

Vậy TH 1 được giải quyết.
• TH2:
Để ý rằng

Mà (điều này có được do và ). Khi đó kết hợp với suy ra:
Vậy TH2 được giải quyết. Khi đó bài toán được giải quyết hoàn toàn.

10. Giải phương trình .
Hương dẫn giải:
Điểu kiện xác định .
Đối vởi phương trình này, ta có 2 hướng giải cơ bản sau:
• Cách 1: Lũy thừa hai vế phurơng trình

• Cách 2: Phân tích thành hằng đẳng thức


Ngoài ra, ta có một số cách giải khác (những cách giải này sẽ thìch hợp để giải các bài toán khác, khó hơn)
• Cách 3: Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Đầu tiên, ta biến đổi phương trình như sau:

Đặt và thì ta có hệ: . Do đó ta được hoăc .
• Cách 4: Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Đặt . Ta có

• Cách 5: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Đặt . Khi đó Phương trình trở thành

Xem đây là phương trình bậc hai ẩn với tham số , ta có
Do đó ta tìm được hoặc .
• Cách 6: Dùng lượng liên họp
Phương trình đã cho tương đương:
•

Mặt khác dễ thấy với thì nên ta được hoặc là hai nghiệm của phương trình.

11. Giải hệ phương trình

Hướng dẫn giải:
Bằng cách nhẩm nghiệm, ta thấy hệ có nghiệm , ta sẽ chứng minh nghiệm này là duy nhất. Hệ phương trình đã cho tương đương với

THl: --.
Khi đó từ Phương trình thứ hai của (*), do và nên ta được hay (mâu thuẫn)
Do đó trường hơp này loại.
• TH2:
Chưng minh tương tư như TH1, ta cùng có được mâu thuẫn nên trường hợp này cūng loại.
• TH3:
Dễ thấy khi đó .
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là .
12. Cho một tam giác có độ dài ba canh là thỏa mãn
. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Hướng dẫn giải:
Nhắc lại một hằng đẳng thức quen thuộc:
Áp dụng hằng đẳng thức này, ta được

Khi đó giả thiết của bài toán sẻ trở thành
Mặt khác, theo BĐT AM-GM ta lại có , dấu "= xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác đầu bài cho là tam giác đều.

13. Cho các số thưc thoả mãn đồng thời . Chứng minh rằng:
.
Hướng dẫn giải:
TH1: Trong bốn số có một số bằng 0 , chằng hạn . Khi đó giả thiết của đề bài trở thành (mâu thuẩn). Do đó trường hợp này loại.
TH2: .
Ta sẻ chứng minh bằng phản chứng, giả sử , khi đó từ giả thiết suy ra .
Xét đa thức

Ta thấy là đa thức bậc 4 do đó chỉ có thế có tối đa bốn nghiệm, bốn nghiệm này chính là , tuy nhiên do nên
cũng là bốn nghiệm của . Điều này chứng tỏ hai bộ nghiệm và là trùng nhau (thứ tự khác nhau).
Do do đó ta sẽ xét các trường hợp sau:
TH2a: Khi đó từ hai phương trình và suy raĐiều này mâu thuẫn nên trường hợp này loại.
Các trường hợp khác cũng hoàn toàn tương tự.
Vậy điều giả sử là sai nên ta có có .