KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2021
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Cao Xuân Hùng (trang riêng)
Ngày gửi: 07h:53' 14-10-2022
Dung lượng: 545.6 KB
Số lượt tải: 36
Nguồn:
Người gửi: Cao Xuân Hùng (trang riêng)
Ngày gửi: 07h:53' 14-10-2022
Dung lượng: 545.6 KB
Số lượt tải: 36
Số lượt thích:
0 người
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG
1)
,
.
10)
2)
,với
4)
,
.
12)
13)
, a, b > 0
14)
5)
, a, b > 0
15)
, a, b, c > 0
6)
7)
, a, b > 0
16)
17)
18)
8)
19)
9)
,với
.
20)
, với
2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho
.
,
11)
3)
,
. Chứng minh rằng:
Giải
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng (*) ta có:
Tương tự ta có:
và
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra
Bài 2. Cho
thỏa
. Chứng minh rằng:
Giải
Ta có
Đặt
Ta có:
Theo bài 1 ta có:
Mặt khác
Do đó
(đpcm).
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Dấu “=” xảy ra
Bài 3. Cho
và
. Chứng minh rằng:
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng (*) ta có:
Tương tự ta có:
và
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
Bình luận: Nếu không có giả thiết
nhiều bài toán mới rất thú vị.
thì bất đẳng thức trở thành:
. Đến đây tùy theo sự sáng tạo của người ra đề ta có
1) Hướng 1: Rút gọn mẫu ở 2 vế được bất đẳng thức đơn giản.
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
2) Hướng 2: Biến đổi
3) Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ
4) Hướng 4: Cho thêm các điều kiện như
Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
thỏa
.
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng (*) ta có:
Chứng minh tương tự ta có:
và
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức
. Hay
dấu “=” xảy ra khi
ta được
Từ
và
. Dấu
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Bài 5. Cho
xảy ra khi
là
, khi
.
Chứng minh rằng:
.
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
+) Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có:
, (***).
+) Nhân vế theo vế (**) và (***) ta có:
(đpcm).
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
+) Dấu “=” xảy ra
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
Tương tự ta có:
và
+) Khi đó
+) Dấu “=” xảy ra
Bài 7. Cho
(đpcm).
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
. Chứng minh rằng:
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Tương tự ta có:
và
+) Cộng vế theo vế các kết quả trên ta có:
+) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm).
+) Dấu “=” xảy ra
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 8. Cho
và thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
.
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
, a, b > 0 (*).
Thật vậy (*)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
.
Tiếp tục áp dụng (*) ta có:
Do đó:
. Tương tự ta có:
và
+) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta có:
, mà theo giả thiết:
đẳng thức trở thành:
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
. Do đó ta có bất
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 9. Cho
Chứng minh bất đẳng thức:
.
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
, a, b > 0 (*).
Thật vậy (*)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
Từ các kết quả trên ta có:
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020)
a) Cho
Chứng minh rằng:
b) Cho các số thực dương
thỏa mãn
.
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Giải
a) Cho
Chứng minh rằng:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Ta có (*)
.
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.
b) Cho các số thực dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
Ta luôn có bất đẳng thức:
, x, y > 0 (**).
Thật vậy (**)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
Từ
,
,
ta có:
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Từ
,
,
,
ta được:
Vậy giá trị lớn nhất của
là
.
đạt được khi
.
Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016)
Cho các số dương
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
, x, y > 0 (*).
Thật vậy (**)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Ta có:
Áp dụng (*) ta có:
Vậy
nhỏ nhất bằng , dấu bằng xảy ra chẳng hạn
.
Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017)
Cho các số dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Thật vậy (*)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng (*) ta có:
.
Tương tự ta có:
và
.
Từ các kết quả trên ta có:
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy
khi
.
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho
,
Chứng minh rằng:
.
là các số dương thỏa mãn điều kiện
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
, (*).
Thật vậy (*)
(luôn đúng vì
,
;
).
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Áp dụng (*) ta có:
Đặt
. Ta cần chứng minh
(luôn đúng)
Dấu
xảy ra khi
hay
.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương
.
thỏa mãn:
. Chứng minh rằng:
Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương
Chứng minh
.
thỏa mãn:
.
.
Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020)
Cho
. Chứng minh bất đẳng thức
.
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương
và
thay đổi, hãy tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai)
Cho
. Chứng minh
.
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
Bài 24. Cho ba số thực dương
Bài 25. Cho
Chứng minh rằng:
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
. Chứng minh rằng
là các số thực dương. Chứng minh rằng
Bài 26. Cho các số thực dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 27. Cho các số thực
. Chứng minh rằng:
Bài 28. Cho
thỏa mãn
Bài 29. Cho
thỏa
. Chứng minh rằng:
.
.Chứng minh rằng:
.
Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn
. Chứng minh:
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
.
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG
1)
,
.
10)
2)
,với
3)
,
4)
, a, b > 0
.
12)
13)
14)
, a, b > 0
15)
, a, b, c > 0
6)
16)
7)
, a, b > 0
17)
8)
9)
.
,
11)
5)
,
.
,với
18)
.
19)
20)
, với
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho
. Chứng minh rằng:
Bài 2. Cho
thỏa
Bài 3. Cho
và
. Chứng minh rằng:
. Chứng minh rằng:
Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 5. Cho
. Tìm
thỏa
.
Chứng minh rằng:
.
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Bài 7. Cho
Bài 8. Cho
Bài 9. Cho
nlà các số thực dương thỏa mãn điều kiện
và thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
. Chứng minh rằng:
.
Chứng minh bất đẳng thức:
.
Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020)
a) Cho
Chứng minh rằng:
b) Cho các số thực dương
thỏa mãn
.
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho các số dương
biểu thức
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho các số dương
trị nhỏ nhất của
thỏa mãn
. Tìm giá
.
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho
,
Chứng minh rằng:
.
là các số dương thỏa mãn điều kiện
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương
.
thỏa mãn:
. Chứng minh rằng:
Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương
Chứng minh
.
thỏa mãn:
.
.
Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020) Cho
. Chứng minh bất đẳng thức :
.
Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương
và
thay đổi, hãy tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài
20.
(Chuyên
toán
Đồng
Nai)
Cho
.
Chứng
minh:
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
Bài 24. Cho ba số thực dương
Bài 25. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
. Chứng minh rằng:
là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Bài 26. Cho các số thực dương
Bài 27. Cho các số thực
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
. Chứng minh rằng:
Bài 28. Cho
thỏa mãn
Bài 29. Cho
thỏa
. Chứng minh rằng:
. Chứng minh rằng:
.
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
.
.
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn
. Chứng minh:
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
.
KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG
1)
,
.
10)
2)
,với
4)
,
.
12)
13)
, a, b > 0
14)
5)
, a, b > 0
15)
, a, b, c > 0
6)
7)
, a, b > 0
16)
17)
18)
8)
19)
9)
,với
.
20)
, với
2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho
.
,
11)
3)
,
. Chứng minh rằng:
Giải
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng (*) ta có:
Tương tự ta có:
và
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra
Bài 2. Cho
thỏa
. Chứng minh rằng:
Giải
Ta có
Đặt
Ta có:
Theo bài 1 ta có:
Mặt khác
Do đó
(đpcm).
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Dấu “=” xảy ra
Bài 3. Cho
và
. Chứng minh rằng:
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng (*) ta có:
Tương tự ta có:
và
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
Bình luận: Nếu không có giả thiết
nhiều bài toán mới rất thú vị.
thì bất đẳng thức trở thành:
. Đến đây tùy theo sự sáng tạo của người ra đề ta có
1) Hướng 1: Rút gọn mẫu ở 2 vế được bất đẳng thức đơn giản.
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
2) Hướng 2: Biến đổi
3) Hướng 3: Sử dụng bất đẳng thức phụ
4) Hướng 4: Cho thêm các điều kiện như
Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
thỏa
.
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng (*) ta có:
Chứng minh tương tự ta có:
và
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức
. Hay
dấu “=” xảy ra khi
ta được
Từ
và
. Dấu
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Bài 5. Cho
xảy ra khi
là
, khi
.
Chứng minh rằng:
.
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:
+) Áp dụng bất đăng thức Cauchy ta có:
, (***).
+) Nhân vế theo vế (**) và (***) ta có:
(đpcm).
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
+) Dấu “=” xảy ra
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
Tương tự ta có:
và
+) Khi đó
+) Dấu “=” xảy ra
Bài 7. Cho
(đpcm).
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
. Chứng minh rằng:
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
Thật vậy
(luôn đúng). Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Tương tự ta có:
và
+) Cộng vế theo vế các kết quả trên ta có:
+) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm).
+) Dấu “=” xảy ra
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 8. Cho
và thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
.
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
, a, b > 0 (*).
Thật vậy (*)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
.
Tiếp tục áp dụng (*) ta có:
Do đó:
. Tương tự ta có:
và
+) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta có:
, mà theo giả thiết:
đẳng thức trở thành:
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
. Do đó ta có bất
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 9. Cho
Chứng minh bất đẳng thức:
.
Giải
+) Ta luôn có bất đẳng thức:
, a, b > 0 (*).
Thật vậy (*)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
+) Áp dụng (*) ta có:
Từ các kết quả trên ta có:
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020)
a) Cho
Chứng minh rằng:
b) Cho các số thực dương
thỏa mãn
.
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Giải
a) Cho
Chứng minh rằng:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Ta có (*)
.
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
.
b) Cho các số thực dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
Ta luôn có bất đẳng thức:
, x, y > 0 (**).
Thật vậy (**)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
Từ
,
,
ta có:
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Từ
,
,
,
ta được:
Vậy giá trị lớn nhất của
là
.
đạt được khi
.
Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016)
Cho các số dương
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
, x, y > 0 (*).
Thật vậy (**)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Ta có:
Áp dụng (*) ta có:
Vậy
nhỏ nhất bằng , dấu bằng xảy ra chẳng hạn
.
Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017)
Cho các số dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Thật vậy (*)
(luôn đúng).
Dấu “=” xảy ra
Áp dụng (*) ta có:
.
Tương tự ta có:
và
.
Từ các kết quả trên ta có:
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy
khi
.
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho
,
Chứng minh rằng:
.
là các số dương thỏa mãn điều kiện
Giải
Ta luôn có bất đẳng thức:
, (*).
Thật vậy (*)
(luôn đúng vì
,
;
).
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Áp dụng (*) ta có:
Đặt
. Ta cần chứng minh
(luôn đúng)
Dấu
xảy ra khi
hay
.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương
.
thỏa mãn:
. Chứng minh rằng:
Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương
Chứng minh
.
thỏa mãn:
.
.
Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020)
Cho
. Chứng minh bất đẳng thức
.
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương
và
thay đổi, hãy tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
Bài 20. (Chuyên toán Đồng Nai)
Cho
. Chứng minh
.
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
Bài 24. Cho ba số thực dương
Bài 25. Cho
Chứng minh rằng:
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
. Chứng minh rằng
là các số thực dương. Chứng minh rằng
Bài 26. Cho các số thực dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 27. Cho các số thực
. Chứng minh rằng:
Bài 28. Cho
thỏa mãn
Bài 29. Cho
thỏa
. Chứng minh rằng:
.
.Chứng minh rằng:
.
Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn
. Chứng minh:
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
.
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606
1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG
1)
,
.
10)
2)
,với
3)
,
4)
, a, b > 0
.
12)
13)
14)
, a, b > 0
15)
, a, b, c > 0
6)
16)
7)
, a, b > 0
17)
8)
9)
.
,
11)
5)
,
.
,với
18)
.
19)
20)
, với
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1. Cho
. Chứng minh rằng:
Bài 2. Cho
thỏa
Bài 3. Cho
và
. Chứng minh rằng:
. Chứng minh rằng:
Bài 4. (Chuyên toán tỉnh Gia Lai 2020) Cho các số dương
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 5. Cho
. Tìm
thỏa
.
Chứng minh rằng:
.
Bài 6. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Bài 7. Cho
Bài 8. Cho
Bài 9. Cho
nlà các số thực dương thỏa mãn điều kiện
và thỏa mãn
. Chứng minh rằng:
. Chứng minh rằng:
.
Chứng minh bất đẳng thức:
.
Bài 10. (Chuyên toán tỉnh Bình Phước 2020)
a) Cho
Chứng minh rằng:
b) Cho các số thực dương
thỏa mãn
.
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 11. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho các số dương
biểu thức
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Bài 12. (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho các số dương
trị nhỏ nhất của
thỏa mãn
. Tìm giá
.
Bài 13. (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho
,
Chứng minh rằng:
.
là các số dương thỏa mãn điều kiện
Bài 14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Bài 15. Cho a ,b,c > 0 thỏa
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 16. (Chuyên toán Ninh Bình 2020) Cho 3 số dương
.
thỏa mãn:
. Chứng minh rằng:
Bài 17. (Chuyên toán Hải Phòng 2020) Cho ba số dương
Chứng minh
.
thỏa mãn:
.
.
Bài 18. (Chuyên toán Phú Thọ 2020) Cho
. Chứng minh bất đẳng thức :
.
Bài 19. (Chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu) Với các số thực dương
và
thay đổi, hãy tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài
20.
(Chuyên
toán
Đồng
Nai)
Cho
.
Chứng
minh:
Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Bài 22. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
Bài 23. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn
Bài 24. Cho ba số thực dương
Bài 25. Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
. Chứng minh rằng:
là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Bài 26. Cho các số thực dương
Bài 27. Cho các số thực
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
. Chứng minh rằng:
Bài 28. Cho
thỏa mãn
Bài 29. Cho
thỏa
. Chứng minh rằng:
. Chứng minh rằng:
.
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
.
.
Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức
Bài 30. Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
Bài 31. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn
Bài 32. Cho a, b, c dương và thỏa mãn
. Chứng minh:
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hết
Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606
.
