PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO



( Đề có 01 trang )
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Môn thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)



Câu 1: (7.0 điểm )
Rút gọn biểu thức:

b) Cho biểu thức
với
. Chứng minh P = 1.
c) Chứng minh:
với mọi
 .
d) Chứng minh số có dạng

là số chính phương .
Câu 2: (4.0 điểm )Giải các phương trình sau:
a)

b)

Câu 3: ( 2.0 điểm ) Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng:


Câu 4: ( 6,0 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
Tính DE biết AB = 12cm, AC = 16cm;
Đường trung trực của DE và BC cắt nhau tại O. Chứng minh AH = 2OM;
Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, kẻ hai tia Bx và Cy vuông góc với BC, chúng lần lượt cắt HD, HE tại M và N. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho hình vuông có cạnh bằng 1 ( đơn vị độ dài), có 101 điểm bất kỳ nằm trong hình vuông. Chứng minh có ít nhất 5 điểm nằm trong hình tròn có bán kính bằng
.

--------------- Hết -------------


HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Môn thi: Toán 9


Câu
Ý
Đáp án
Biểu điểm

1
7đ
a
2,0 đ
Rút gọn biểu thức:








1.0

0.5

0.5



b
2,0 đ
Cho biểu thức
với
. Chứng minh P = 1.







( vì
) nên ta có:


1.0


0.5


0.5



c
3đ
Chứng minh:
với mọi
 .





là tích 3 số nguyên liên tiếp nên
mà
nên

1.5
1.5



d
1.0đ
Chứng minh số có dạng

là số chính phương .




Ta có


= 4.

=

=

Ta thấy 2.10n + 1 =
có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3
=>

Z hay các số có dạng
là số chính phương.
0.25


0.25




0.5

0.25



0.25

2
4đ
a
2.0đ
Giải phương trình:





 ĐK:


(vì
)


0.25

1.0

0.75




b
2.0đ
Giải phương trình:





ĐK:



Đặt



So sánh với điều kiện ta có

0.25
0.5


0.5

0.5
0.25

3
2đ

Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng:








Tương tự ta có:


Cộng vế với vế của các BĐT ta có:


Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
0.5



0.5



0.5

0.5



4
6đ

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
Tính DE biết AB = 12cm, AC = 16cm;
Đường trung trực của DE và BC cắt nhau tại O. Chứng minh AH = 2OM.
Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, kẻ hai tia Bx và Cy vuông góc với BC, chúng lần lượt cắt HD, HE tại M và N. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
















a
3đ
ADHE là hình chữ nhật => AH = DE.
Theo Pitago

Theo hệ thức lượng ta có:

1.5

1.5



b
2đ
Xét tứ giác AIOM ( I là giao điểm của DE và AH