HSG Sưu tầm 7
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Cao Xuân Hùng (trang riêng)
Ngày gửi: 21h:14' 31-10-2019
Dung lượng: 156.6 KB
Số lượt tải: 15
Nguồn:
Người gửi: Cao Xuân Hùng (trang riêng)
Ngày gửi: 21h:14' 31-10-2019
Dung lượng: 156.6 KB
Số lượt tải: 15
Số lượt thích:
0 người
ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THICẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1.(5,0 điểm)Cho biểu thức: với a > 0, a ( 1.
a) Chứng minh rằng
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Bài 2. (4,0 điểm)
Giải phương trình:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = với x, y, z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1
Bài 3. (4 điểm)
a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320
b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn .
Chứng minh rằng: .
Bài 4.(6 điểm)
a.Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung trực là O, trung điểm của BC là M.
Tính giá trị biểu thức:
b. Cho góc . Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại M và N. Biết giá trị biểu thức không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi.
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. (1 điểm)
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83
-----------Hết-----------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
BÀI
ĐỀ -ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Bài 1
Cho biểu thức: với a > 0, a ( 1.
a) Chứng minh rằng
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
a
Do a > 0, a ( 1 nên: và
(
Do nên:
(
b
Ta có do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
Mà N = 1 (((
((phù hợp)
Vậy, N nguyên (
Bài 2
a) ĐK: hoặc x = 0,5
Biến đổi:
Hoặc (2)
Giải (1) được x = 0,5 (thỏa mãn), giải (2) được x = 5 (thỏa mãn)
b) A =
Nên A2 =( vì x2+y2+z2 =1)
= B +2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có
Tương tự
Cộng vế với vế ta được 2B 2
Do đó A2 = B +2 3 nên A
Vậy Min A = x = y = z =
Bài 3
a
Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 <=>(x3-y)2 +(x3)2 = 320
=> (x3)2320
mà x nguyên nên
Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại)
Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6
Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2
Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là:
(2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2)
Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 <=>(x3-y)2 +(x3)2=320
=> (x3)2320
b
Áp dụng BĐT (với a, b > 0)
Ta có:
Tương tự:
Cộng vế theo vế, ta có:
Bài 4
a
a) Ta có MO // HA (cùng vuông góc với BC)
OK // BH (cùng vuông góc với AC)
( = (góc có cạnh tương ứng song song)
MK // AB (M, K là trung điểm BC và AC)
( = (góc có cạnh tương ứng song song)
((ABH đồng dạng với (MKO
(
Xét (AIH và (MIO có và = (so le trong)
((AIH đồng dạng với (MIO ((
((
b
/
Giả sử (1) ( a là số dương cho trước).
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1.(5,0 điểm)Cho biểu thức: với a > 0, a ( 1.
a) Chứng minh rằng
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Bài 2. (4,0 điểm)
Giải phương trình:
Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = với x, y, z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1
Bài 3. (4 điểm)
a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320
b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn .
Chứng minh rằng: .
Bài 4.(6 điểm)
a.Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung trực là O, trung điểm của BC là M.
Tính giá trị biểu thức:
b. Cho góc . Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại M và N. Biết giá trị biểu thức không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi.
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. (1 điểm)
Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83
-----------Hết-----------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
BÀI
ĐỀ -ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Bài 1
Cho biểu thức: với a > 0, a ( 1.
a) Chứng minh rằng
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
a
Do a > 0, a ( 1 nên: và
(
Do nên:
(
b
Ta có do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
Mà N = 1 (((
((phù hợp)
Vậy, N nguyên (
Bài 2
a) ĐK: hoặc x = 0,5
Biến đổi:
Hoặc (2)
Giải (1) được x = 0,5 (thỏa mãn), giải (2) được x = 5 (thỏa mãn)
b) A =
Nên A2 =( vì x2+y2+z2 =1)
= B +2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có
Tương tự
Cộng vế với vế ta được 2B 2
Do đó A2 = B +2 3 nên A
Vậy Min A = x = y = z =
Bài 3
a
Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 <=>(x3-y)2 +(x3)2 = 320
=> (x3)2320
mà x nguyên nên
Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại)
Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6
Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2
Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là:
(2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2)
Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 <=>(x3-y)2 +(x3)2=320
=> (x3)2320
b
Áp dụng BĐT (với a, b > 0)
Ta có:
Tương tự:
Cộng vế theo vế, ta có:
Bài 4
a
a) Ta có MO // HA (cùng vuông góc với BC)
OK // BH (cùng vuông góc với AC)
( = (góc có cạnh tương ứng song song)
MK // AB (M, K là trung điểm BC và AC)
( = (góc có cạnh tương ứng song song)
((ABH đồng dạng với (MKO
(
Xét (AIH và (MIO có và = (so le trong)
((AIH đồng dạng với (MIO ((
((
b
/
Giả sử (1) ( a là số dương cho trước).
