PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm):
a. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương
b. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19.
Câu 2. (4,0 điểm):
Cho
.
Biết xyz=4, tính
.
b. Cho
và
. Chứng minh rằng :
.
Câu 3. (3,0 điểm): Giải phương trình :
+
= 3
Câu 4. (7,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
2. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) BD.CE =

b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Câu 5. (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng:
T =
+
+




__________ Hết __________



PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH

Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
(Có điều chỉnh biểu điểm so với đề thi)
Câu 1 (5,0 điểm):
a. ( 3,0 điểm)
Ta có:






Vậy: n = 452 – 24 = 2001

b. ( 2,0 điểm)
Với n = 0 ta có A(0) = 19
19
Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k
19
Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + 1 nghĩa là phải chứng minh:
A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
19
Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + 1
= 7.52k.52 + 12.6n. 6
= 7.52k.6 + 7.52k .19 + 12.6n. 6
= 6.A(k) + 7.52k .19
19
Vậy theo nguyên lý quy nạp thì A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với mọi số tự nhiên n

Câu 2.(6,0 điểm):
a. (3,0 điểm)
ĐKXĐ x,y,z
0. Kết hợp xyz = 4


Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ hai với
, thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ ba bởi
ta được.



Suy ra
( vì A>0).

b. (3,0 điểm)
Từ :



ayz + bxz + cxy = 0

 Ta có :











Câu 3.(1,0 điểm):
ĐK: x
- 1

( x -
)2 = 3 – 2

(
)2 + 2
- 3 = 0
=>
= 1 => x1,2 =
Hoặc
= -3 vô nghiệm

Câu 4. (6,0 điểm)
1. (3,0 điểm):
a) (1,0đ)

Tươngtự:
;



b) (1,0đ) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:




c) (1,0đ) Vẽ Cx
CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD
BC + CD
-
BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2

AB2 + AD2
(BC+CD)2
AB2 + 4CC’2
(BC+AC)2