PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC: 2019-2020
Môn: TOÁN (Thi ngày 10/12/2019)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Câu I: (5,0 điểm)
Tìm các số nguyên dương x , y biết rằng: 2x + 2y – 3xy + 5 = 0.
Chứng minh rằng với x, y là số nguyên thì:
A = (x + y)( x + 2y)( x + 3y)( x + 4y) + y4 là số chính phương.

Câu II: (5,0 điểm) Giải các phương trình sau:





Câu III: (3,0 điểm)
Cho ba số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 + b2 + c2 .
Cho a , b, c là các số thực dương:
Chứng minh rằng:

Câu IV: (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O;3cm) đường kính AB. Kẻ tia tiếp tuyến Ax với (O), Ax và (O) cùng nằm trên nủa mặt phẳng bờ là AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm C, Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt Ax tại D, cắt AC tại I.
Tính CH biết

Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.
Gọi K là giao điểm của CH và BD. Chứng minh IK song song với AB.

Câu V: (1,0 điểm) Cho 1050 số
chọn ra 33 số trong các số đó. Chứng minh rằng trong các số được chọn, tồn tại hai số có hiệu nhỏ hơn 1.

Lưu ý: Thí sinh bảng B không phải làm câu 3b


--------------Hết--------------

Họ và tên thí sinh: ……………………….Số báo danh……………





Câu 3: (HSG Nghĩa Đàn – 2019 - 2020)
Cho ba số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 + b2 + c2 .
Cho a , b, c là các số thực dương:
Chứng minh rằng:

Giải:
Áp dụng bất đẳng thức phụ:
. Dấu bằng xảy ra khi x = y.
Nên ta có:
. Dấu bằng xảy ra khi

Tương tự ta suy ra:

Hay

Nên
Dấu bằng xảy ra khi:

Theo bất đẳng thức BunhiaCopsky ta có:


Hay:

Tương tự:
. Từ đó ta suy ra :


Dấu bằng xảy ra khi : a = b = c.