CHUỔI BÀI DẠNG TOÁN DỰ ĐOÁN DẠNG CỦA ĐA THỨC
Bài 1. (HSG Huyện Nghi Lộc năm 22-23)
Cho P(x) là đa thức bậc bốn có hệ số cao nhất là 1. Biết rằng đa thức P(x) có 3
nghiệm là 1; -2; 5. Tính A = 9P(3) – P(-5).
Giải: Vì P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và đa thức P(x) có 3 nghiệm là 1;
-2; 5 nên dạng đa thức P(x) = (x-1)(x+2)( x-5)(x-m)
9.P(3) = 9(3-1)(3+2)( 3-5)(3-m) = 180(m-3)
và P(-5) = (-5-1)(-5+2)( -5-5)(-5-m) = 180(5-m)
Suy ra: A = 9P(3) – P(-5) = 180(m-3) + 180(5-m) =-540 + 900 = 360
Bài 2: Xác định đa thức P(x) bậc 3 sao cho khi chia P(x) lần lượt cho các đa thức x1, x-2, x-3 thì đều có số dư là 6 và tại x = -1 thì P(x) = -18.
Giải:
Do

chia cho

thì đều có số dư là 6

có nhân tử là

Vì tại

. Mà

bậc 3 nên

thì

. Vậy

Bài 3: Cho đa thức

.

có bậc 3.

Biết

. Tính
Giải: Đặt

.
có bậc là 4 và có hệ số của

Ta có

là 1 .

,
,

có các nghiệm là
Mà

có nhân tử là x-1, x-2, x-3.

có bậc là 4 và có hệ số của

là 1

.

Vậy

.

Bài 4: Cho đa thức

.

Biết

. Tính
Giải: Đặt

.

là đa thức bậc 5 và có hệ số của

Ta có

;
;

;

là 1 .

có các nghiệm là
có nhân tử
Mà

.

là đa thức bậc 5 và có hệ số của

là 1

Vậy
Bài 4. Cho đa thức

bậc 3 có hệ số của

thoả mãn

.

Chứng minh

.

Giải: Đặt

là 1 . Giả sử a, b, c các số thực phân biệt

là đa thức bậc 3 và có hệ số của

Ta có

,

,

có các nghiệm là
có nhân tử là
Mà

.

là đa thức bậc 3 và có hệ số của

là 1

là .

Vậy

.