PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN ANH SƠN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013
*****

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)



Câu 1: (7,0 điểm).
Cho biểu thức


Rút gọn A.
Tính giá trị của A khi
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Câu 2: (5,5 điểm).

Giải phương trình:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Cho các số thực a,b,c > 0 thoả mãn

Chứng minh rằng :

Câu 3: (6,0 điểm).

Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, AB và CD là hai đường kính bất kỳ của (O). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt các đường thẳng BC, BD lần lượt tại M và N. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM và AN, H là trực tâm của tam giác BPQ.
Chứng minh tam giác APH và ABQ đồng dạng.
Chứng minh AH =
.
Hai đường kính AB, CD phải thoả mãn điều gì để diện tích tam giác BPQ nhỏ nhất?

Câu 4: (1,5 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn. Một điểm I nằm trong tam giác sao cho
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của I trên AB và AC; M và D theo thứ tự là trung điểm của HK và BC. Chứng minh MD
HK.

----- HẾT -----
Lưu ý: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
SỐ BÁO DANH:……………………...

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
Ý
Nội dung
Điểm

1
a
ĐKXĐ:
(*)


1,0



1,5

1,0

0,5


b
Vì
nên
hoặc

Với
không thoả mãn (*): Loại
Với x = 9. Ta có A =

1,0
1,0
1,0


c
Không chấm câu c


2
a
ĐKXĐ

Phương trình :








thoả mãn
1,0

0,5

0,5

0,5
0,5


b


Vì x, y nguyên nên x – 1 ; y + 2 nguyên
Do đó x- 1 ; y+2 là ước của 3. Ta có bảng
x – 1
- 1
1
- 3
3

x
0
2
-2
4

y+2
-3
3
-1
1

y
-5
1
-3
-1

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là
(0 ;-5) ;(2 ;1) ;(-2 ;-3) ;(4 ;-1)


0,5


0,5




0,5


c
Từ ( a+b-c)2 = a2+b2+c2 +2ab – 2bc – 2ac
0
Nên ac + bc – ab

=
< 1( Vì
)
Chia cả hai vế cho abc > 0 ta được :



0,5

0,5

3

Hình vẽ














0,5


a
Tam giác APH đồng dạng với ABQ vì
và
( cùng phụ với
)
3,0


b
Chứng minh AH =

Từ câu a) suy ra:




( Tam giác BCD vuông tại B vì CD là đường kính nên BMN vuông tại B, có BA là đường cao nên AM.AN = AB2 , theo hệ thức lượng trong tam giác vuông)

.



0,5





1,0


c
SBPQ =

SBPQ nhỏ nhất

nhỏ nhất
Mà AB = 2R không đổi
Nên SBPQ nhỏ nhất
AM + AN nhỏ nhất
Vì AM.AN = AB2 = 4R2 không đổi
Nên AM + AN nhỏ nhất
AM = AN
AB
CD





1,0

4












Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BI và CI
Ta có : DE, DF là đường trung bình của tam giác BIC
Suy ra:
;

Mặt khác:
;
( Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
Do đó HE = DF; KF = DE(1)
Dễ dàng chứng