ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2021
Đề số 1
1. Đề thi
Bài 1 (5.0 điểm).
a) Giải phương trình

b) Chứng minh rằng biểu thức
có giá trị là số nguyên, trong đó a, b, c là ba số thực đôi một phân biệt.
Bài 2 (5.0 điểm).
a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn
và
cùng chia hết cho 3. Chứng minh rằng chia hết cho 9.
b) Cho đa thức
có một nghiệm là
(a, b là các số hữu tỉ). Chứng minh rằng đa thức P(x) chia hết đa thức

Bài 3 (2.0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 4 (6.0 điểm). Cho đường tròn (I)nội tiếp tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA lần lượt tại điểm D, E. Qua điểm B, kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng BI, cắt đường thẳng AI tại điểm J. Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm J trên đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng BD = CP.
b) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AJ và BC. Chứng minh rằng:

c) Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng JP và DE. Gọi K là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng đường thẳng BK vuông góc với đường thẳng AP.
Bài 5 (2.0 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn

b) Cho một hình chữ nhật có diện tích bằng 1. Năm điểm phân biệt được đặt tùy ý vào hình chữ nhật sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng (mỗi điểm trong năm điểm đó có thể đặt được đặt trên cạnh hoặc đặt nằm trong hình chữ nhật).
i) Chứng minh rằng mọi tam giác tạo bởi ba điểm trong năm điểm đã cho đều có diện tích không vượt quá
.
ii) Với mỗi cách đặt năm điểm vào hình chữ nhật như trên, gọi n là số tam giác có ba đỉnh là ba điểm nằm trong năm điểm đó và diện tích không vượt qua
. Tìm giá trị nhỏ nhất của n.


LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN CÁC BÀI TOÁN
Bài 1 (5.0 điểm).
a) Giải phương trình

b) Chứng minh rằng biểu thức
có giá trị là số nguyên, trong đó a, b, c là ba số thực đôi một phân biệt.
Lời giải.
a) Điều kiện . Phương trình đã cho có thể được viết lại thành


Hay

Vì
và
nên (1) xảy ra khi và chỉ khi
tức
(thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

b) Ta có


Do đó, biểu thức K luôn nhận giá trị nguyên là 1.
Bài 2 (5.0 điểm).
a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn
và
cùng chia hết cho 3. Chứng minh rằng chia hết cho 9.
b) Cho đa thức
có một nghiệm là
(a, b là các số hữu tỉ). Chứng minh rằng đa thức P(x) chia hết đa thức

Lời giải.
a) Từ giả thiết ta có
chia hết cho 3, hay
chia hết cho 3. Từ đó suy ra cùng chia hết cho 3.
Với mọi số nguyên x, ta có x chia 3 dư 0, 1 hoặc 2 nên
chia 3 dư 0 hoặc 1.Suy ra
và
khi chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1. Như vậy, để
chia hết cho 3, ta phải có
và
cùng chia hết cho 3, tức a và b cùng chia hết cho 3. Mặt khác, do a + b + c chia hết cho 3 nên c cũng chia hết cho 3. Từ đây, dễ thấy
chia hết cho 9. Ta có điều phải chứng minh.
b) Từ giả thiết, ta có
, hay

Nếu
, ta có
là một số hữu tỉ, mâu thuẫn vì
là một số vô tỉ. Do đó
. Từ đó suy ra
, tức
. Vậy


Rõ ràng
chia hết cho đa thức

Bài 3 (2.0 điểm). Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải.
Giá trị lớn nhất của biểu thức Q. Với mọi số thực x, y và z, ta có


Từ đó suy ra
, hay

Sử dụng kết quả này, ta được: