CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§1. BẤT ĐẲNG THỨC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1.Định nghĩa :
Cho
là hai số thực. Các mệnh đề
được gọi là nhữngbất đẳng thức.
Chứng minh bất đảng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng)
Với
là mệnh đề chứ biến thì
là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức
(với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến
đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức
mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.
2.Tính chất :
*
và

*

*
và

*Nếu
thì

Nếu
thì

*

*

*

3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
*
với mọi số thực
.
*
( Với
)
*
( Với
)
4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
a) Đối với hai số không âm
Cho
, ta có
. Dấu `=`xảy ra khi và chỉ khi

Hệ quả :
* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
b) Đối với ba số không âm
Cho
, ta có
. Dấu `=` xảy ra khi và chỉ khi

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT)
ta có thể sử dụng các cách sau:
Ta đi chứng minh
. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích
thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 1 :Cho hai số thực
. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau:
a)
b)

c)
d)

Lời giải
a) Ta có
. Đẳng thức
.
b) Bất đẳng thức tương đương với


(đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra

c) BĐT tương đương


(đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra

d) BĐT tương đương



(đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra

Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác.
Ví dụ 2 :Cho năm số thực
. Chứng minh rằng

.
Lời giải
Ta có :




đpcm.
Đẳng thức xảy ra
.
Ví dụ 3 : Cho
. Chứng minh rằng :
.
Lời giải
Ta có



(Do
.
Nhận xét : Nếu
thì BĐT có chiều ngược lại :
.
Ví dụ 4: Cho số thực
. Chứng minh rằng
a)
b)
c)

Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương với




(đúng với mọi số thực
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
b) Bất đẳng thức tương đương với



Ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(không xảy ra)
Suy ra
ĐPCM.
c) Bất đẳng thức tương đương với

+ Với
: Ta có

Vì
nên
do đó
.
+ Với
: Ta có

Vì
nên
do đó
.
Vậy ta có
.
Ví dụ 5: Cho
là các số thực. Chứng minh rằng
a)

b)

c)

Lời giải
a) BĐT tương đương với


(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
b) BĐT tương đương với




(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
c) BĐT tương đương với




(đúng)
Đẳng thức không xảy ra.
Ví dụ 6: Cho hai số thực
thỏa mãn
. Chứng minh rằng;
a)

b)

Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương




(đúng với
) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
.
b) Bất đẳng thức tương đương

Theo câu a) ta có
,