Chủ đề: CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Định nghĩa
Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp
II.Tính chất
Trong một tứ giác nội tiếp thì hai góc đối có tổng số đo bằng

Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng
thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
III.Dấu hiệu
Tổng hai góc đối của một tứ giác bằng
thì tứ giác nội tiếp đường tròn
Nếu tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau thì bốn đỉnh của tứ giác ấy cùng thuộc một đường tròn
IV.Vận dụng
Phương pháp: Để chứng minh một tứ giác nội tiếp (hay
điểm cùng thuộc một đường tròn) ta cần:
Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng

Chứng minh từ hai đỉnh cùng kể một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng
thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.
Cụ thể: Cho tam giác
. Nếu các bạn chứng minh được
thì tứ giác
cũng nội tiếp trong một đường tròn. Đây có thể nói là một trường hợp đặc biệt của trường hợp thứ 2.

/ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn.
/ Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Chú ý: Các bạn có thể chứng minh tứ giác/ là một trong những hình đặc biệt sau: Tứ giác/ là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.
Ví dụ 1:Cho tam giác nhọn/ có/ . Các đường phân giác trong / của tam giác /cắt nhau tại /.
Chứng minh tứ giác / nội tiếp.
Gọi / là giao điểm thứ hai khác/ của đường thẳng/ với đường tròn ngoại tiếp tam giác/ . Chứng minh tứ giác / nội tiếp.
Ví dụ 2: Cho tam giác / có ba góc nhọn nội tiếp / . Hạ đường cao / của tam giác. Các tia /lần lượt cắt / tại các điểm thứ hai / . Chứng minh rằng:
Bốn điểm / nằm trên một đường tròn.
/
/
Cho/ và dây / cố định , điểm/ di chuyển trên cung lớn/ . Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác / không đổi.
Hướng dẫn giải
VD1:
/
Ta có /( do / là phân giác)
/ ( do / là phân giác)
Áp dụng định lý tổng ba góc trg một tam giác tính được /
Có /( đlý tổng ba góc trg một tam giác)
//
Chứng minh được tứ giác / nội tiếp do có tổng hai góc đối bằng /.
Tứ giác / nội tiếp nên /
Tứ giác / nội tiếp nên /
Mà / (kề bù)
/. Mà hai góc ở vị trí đối nhau
Vậy tứ giác / nội tiếp.
VD2
/
Ta có /(gt)
Suy ra / thuộc đường tròn đk /.
Vậy /cùng nằm trên một đường tròn.
Theo câu a tứ giác / nội tiếp đường tròn /(góc nt)
Mà /( góc nt) /
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên /
Tứ giác / nội tiếp nên /(góc nt) /
/. Suy ra C là điểm chính giữa cung /
Suy ra /
Gọi / là trực tâm tam giác /
Gọi / là trung điểm /
Kể đường kính /
Ta có / ( góc nt chắn nửa đường tròn (O))
/. Mà //(1)
CM tương tự /
Từ /là hình bình hành
Suy ra / là trung điểm / (tính chất đường chéo hbh)
/ thẳng hàng
CM được tứ giác / nội tiếp đường tròn tâm /(do có tổng hai góc đối bằng /)
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tứ giác / là đường tròn ngoại tiếp /
Xét / có /. Suy ra/ là đường trung bình
//. Do / cố định nên / không đổi
Vậy khi C di chuyển trên cung lớn / thì độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác / không đổi.
B.PHÂN DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
I. Phương pháp 1 chứng minh: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.
CÁC VÍ DỤ.
Mức độ 1: NB.
Cho hình thang

có
,
. Chứng minh bốn điểm
cùng thuộc một đường tròn.
/
Hướng dẫn giải
Gọi
là trung điểm
, ta có
là hình hành
(1)
Tương tự
(2)

là hình thang có
nên
là hình thang cân(3); mà
Từ (1), (