CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT

Phương pháp:

“ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”.

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
=>
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:












Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN

Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên sao cho: (*)
HD:
Từ(*) ta thấy : thay vào (*) ta được :
Bài 2: Tìm thỏa mãn: (*)
HD:
Từ (*) (1)
Từ (1) , Thay vào (1) ta suy ra : (2)
Từ (2) thay vào (2) ta được : (3)
Từ (3)













Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Phương pháp:

Biến đổi PT thành tổng các số chính phương, vế còn lại là 1 hằng số k

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Nhân với 4 ta được:
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
HD:

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
nếu đặt
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên::
HD :
=>
=>
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:





Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

=>
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:

Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Nhân 4
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
, mà là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD :
Ta có phương trình trở thành :
=>, Vì x,y là số nguyên nên
=>
Bài 16: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn:
HD:
Vì x, y,z là các số nguyên nên:
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình:
HD:
Biến đổi: khi
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên:
HD :
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn:
HD:
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết:
HD:
Bài 22: Tìm x, y thỏa mãn :
HD:






Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
Có , Để phương trình có nghiệm thì :
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Có , để phương trình có nghiệm thì
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Xét :
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Theo vi- ét ta có :

Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Chuyển phương trình thành bậc hai với x
, có :
, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là là số chính phương
=>
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

Từ đó ta có :
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Làm giống bài trên
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
TH1 : y=0 => ...
TH2 :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là phải là 1 số chính phương
=>=> Tìm x
Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Để phương trình có nghiệm thì phải là 1 số chính phương
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :

=>
Cách 2 : Tính
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Điều kiện để phương trình có nghiệm là
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Coi PT đã cho là PT bậc hai đối với x: (1)
Để (1) có nghiệm nguyên thì biệt thức phải là số chính phương.
Bài 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
, Coi PT là ẩn x với tham số y
Ta có : , để PT có nghiệm thì
Vì
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình trở thành :
TH1 : y=1=> x=0
TH2 :










Dạng 5: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Phương pháp:

“ Biến đổi PT thành tích của hai biểu thức, vế còn lại là 1 hằng số k
Ta có thể sử dụng các PP phân tích thành nhân tử ,biến thành hiệu của hai số chính phương,
Sử dụng biệt thức denta là số chính phương ” .

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Biến đổi PT thành PT ẩn x và tham số y:
Tìm m để PT: có là số chính phương (1)
Ta có:
Chọn , Khi đó (1) trở thành:

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

Bài 2:Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
Ta có:

Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :


Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình đã cho về dạng:
Vì , Thay vào tìm được y
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
=> mà là 1 số chẵn nên 2 số đều chẵn
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
với
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
=>
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :


Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

=>
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Đặt:
Ta có các TH sau:
TH1: TH2:
Cả hai TH trên đều có
TH3: TH4:
TH5:
TH6:
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
=>
Bài 17: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

=>=>
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 20: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 21: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:

Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :

Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :

Bài 24: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :

Bài 25: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :

Bài 26: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 27: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 28: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 30: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Phương trình có nghiệm , xét x, y # 0 => là 1 số chính phương
Đặt : Tìm x

Bài 31: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình vê dạng :
Bài 32: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình thành :
=>
Bài 33: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 34: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 35: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 36: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :


TH1 :
TH2 :
Bài 37: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Chú ý : Vì là 1 số chẵn nên có tính chất cùng chẵn
Bài 38: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :

Bài 39: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :
Bài 45: Tìm x, y nguyên thỏa mãn:
HD :
Bài 46: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :

Bài 47: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :


Bài 48: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :

Bài 49: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:


Bài 50: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:

Bài 51: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến dổi phương trình thành:
Bài 52: Tìm các nghiệm nguyên dương x, y của phương trình :
HD:
Biến đổi thành:
Lại có: , Với và 1959=3.653
Bài 53: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:
HD:

Bài 54: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Bài 55: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Bài 56: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Viết lại PT đã cho dưới dạng: (1)
Dễ thấy PT có nghiệm ,
Xét là số chính phương, Đặt
Tìm được x, y là
Bài 57: Tìm x, y nguyên thỏa mãn :
HD :
Bài 58: Tìm x, y nguyên thỏa mãn :
HD :
Bài 59: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD :
Ta có:
Do x,y nguyên dương nên:

TH1 : hoặc TH2 : hoặc




DẠNG 6: ĐƯA VỀ ƯỚC SỐ

Nhận dạng : 
“ Phương trình có 1 ẩn có cùng 1 bậc, khi đó rút ẩn đó theo ẩn kia ” .
Phương pháp :
“ Sử dụng tính chất chia hết hoặc giá trị tuyệt đối, ước của 1 số nguyên để tìm ra 1 ẩn. ”

Bài 1 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Phương trình tương đương với :
Với không phải là nghiệm khi đó ta có :
Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình về dạng :

Bài 5 : Tìm x nguyên để biểu thức sau nguyên :
HD :
Ta có :
Bài 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
ta có :
Bài 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 9 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình trở thành :

Bài 10 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :


Bài 13 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 14 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
=>
Bài 17 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 18 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 19 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình ta có :
Bài 20 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình ta có :

Bài 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
thay vào tìm y
Bài 22 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình về dạng :

Bài 24 : Tìm các cặp (x ; y) nguyên dương sao cho A có giá trị nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 25 : Tìm các cặp số nguyên dương x,y,z biết :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
Bài 26 : Tìm các cặp nguyên dương a, b biêt A có giá trị nguyên :
HD :
Biến đổi phương trình thành :
, Để A có giá trị nguyên thì :
Chứng minh:

Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là 1 số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
HD:
Gọi x, y là các cạnh của hình vuông
Ta có: và (2)
Khi đó ta có:

Thay vào (2) ta được: Còn (loại)
Bài 33 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Đưa phương trình thành:
Bài 35 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến đôi phương trình thành:
Bài 39 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Bài 41 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Bài 44: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

Bài 45: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
Đặt :

Bài 46: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng : =>
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về :
Bài 48 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng :



DẠNG 7: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KẸP GIỮA

Bài 1 : Tìm tất cả x,y nguyên thỏa mãn :
HD:
Ta có: (1)
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) ta có:

Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
Mặt khác :
Khi đó :

Bài 3 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có : (1)
mặt khác :
Khi đó :
TH1 :
TH2 :
Bài 4 : Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
Mặt khác :
Khi đó :
Bài 5 : Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương :
HD :
Đặt

(1)
Vậy ta cần chứng minh
Thật vậy :


Bài 12 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Ta có:

Ta cần chứng minh:
Khi đó:
Vậy
hoặc
Bài 17 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ước tự nhiên của là số chính phương
HD:
Ta có:
=>
Bài 22: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Với x=0=> y= 1 hoặc y=-1
Với x # 0=>

Bài 23: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Từ phương trình ta có :
Bài 30: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên x sao cho

HD :
Ta có :
Do (1)
và (2)
=> Vô lý
Bài 31: Tìm x nguyên để biểu thức sau là 1 số chính phương :
HD :
Đặt
Ta cần chứng minh : với

Bài 37 :Có tồn tại hay không hai số nguyên dương x và y sao cho và đều là số chính phương
HD :
Giả sử : y < x, Ta có :
Vậy không tồn tại hai số nguyên dương thỏa mãn ban đầu 
Bài 38: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương:
HD :
Giả sử :
Ta có : (1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có :

Bài 39: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Biến đổi thành: , Nên thay vào PT ta được: x=0
Bài 40: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 41: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 42: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 43: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 44: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 45: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 46: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 47: Giải phương trình nghiệm nguyên:
HD:
Bài 48: Tìm các số nguyên x, y không âm sao cho:
HD:
Nếu
Nếu từ PT ta suy ra: , vô lý.











DẠNG 8: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Giả sử :
TH1 :
TH2 : hoặc

Bài 2: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
HD :
Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :
, Giả sử :
Với
Với
Với
Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau:
HD:
Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên Giả sử:
Nếu (thỏa mãn )
Nếu , Do nên ta có các TH sau:
TH1: Vô nghiệm
TH2:
TH3: loại
Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm là hoán vị của cặp nghiệm trên
Bài 4: Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
HD :
Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là :
Giả sử :
Xét các TH của xyz
Bài 5: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
HD :
Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là x,y,z, ta có :
Giả sử :
Xét các TH của xy
Bài 6: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD :
Giả sử :
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD :
Giả sử :
Với
TH1 :
Giải các TH và với t=2
Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
HD:
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
HD:
Bài 10: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD :
Giả sử :

Bài 11: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
Giả sử:

TH1: Với x=1=>
=> Nếu y=1=> Z không có giá trị, Nếu y=2=> z=3
TH2 : Với làm tương tự
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
Giả sử:
Làm tương tự bài trên
Bài 13: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD :
Giả sử :
=>
Bài 14: Chứng minh rằng chỉ có 1 số hữu hạn nghiệm nguyên dương
HD :
Giả sử : , Ta có :
=>x có hữu hạn giá trị
Với mỗi giá trị của x => giá trị
=> Tương ứng với z
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
Ta có:
Giả sử:
Khi đó:
Với => tự làm
Bài 16: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Phương trình đã cho
Cô si ta có: , Do
và x,y,z nguyên nên ta có các nghiệm là:
(1 ;1 ;1), (1 ;-1 ;-1) và các hoán vị
Bài 17: Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn :
Có giá trị nguyên
HD:
Ta có: có cùng tính chẵn lẻ:
Giả sử : Nếu
Nếu a=1=> thay a=1 và A=2 vào ta được:
hay
Nếu a=2, xét tương tự=> (2;4;4), (1;3;7) và các hoán vị
Bài 18: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:
HD:

Giả sử có x, y nguyên thỏa mãn: VT=>.
Do x, y nguyên nên
Với: ( vô nghiệm)
Với
Bài 19: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình :
HD:
Biến đổi phương trình thành:


Bài 20: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :

Vì Vi là số lẻ < 7=>
Bài 21: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình :
HD:
Biến đổi thành:
Xét các TH=> x
Bài 22: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
Biến đổi phương trình đã cho thành:
Vì và là số chính phương, do đó:
thay vào ta tìm được các nghiệm x còn lại.
Bài 23: Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :
HD:
Biến đổi phương trình thành:
và và
Với
Với
Bài 24: Tìm các số tự nhiên x thỏa mãn phương trình :
HD :
Ta có :
Với Vô lý
Với thỏa mãn
Với
Bài 25: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Phương trình đã cho viết lại thành:
Ta thấy x=2 là nghiệm của phuong trình:
Nếu x>2 thì
Nếu x<2 thì dễ thấy x=0 và x=1 không phải là nghiệm của phương trình
Nếu x<0 ta đặt nên y, Ta có : ,
Phương trình này vô nghiệm vì vế phải lớn hơn 1 do y1
Bài 26: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:
HD :
Giả sử : và
=>
Vậy
Thử lại ta thấy x=y=18 không thỏa mãn => Phương trình không có nghiệm nguyên dương
Bài 27: Tìm các số nguyên dương thỏa mãn: và
HD:
Nếu
Nếu , vậy để thỏa mãn đàu bài thì

Bài 28: Tìm 3 số nguyên dương đôi 1 khác nhau thỏa mãn :
HD :
Giả sử : và không xảy ra đấu =
, mà
Kết hợp với phương trình đầu
Bài 29: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta đánh giá miền giá trị của x: Biến đổi PT thành:

Bài 30: Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : (1)
HD :
Giả sử: từ PT
Ta có :
vậy



















DẠNG 9: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ ĐỒNG DƯ

Bài 1: Chứng minh rằng không có các số nguyên x, y, z thỏa mãn :
HD:
Ta có , Ta có : mà 4 không chia hết cho 8
Vậy không tồn tại x, y, z
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD:
Nhân với 4 ta có: =>
Do , mà => Vô lý
Vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 3: Có tồn tại hay không các số tự nhiên m, n sao cho:
HD:
Giả sử tồn tại m, n là số tự nhiên thỏa mãn: (1)
Từ (1) => m, n cùng tính chẵn lẻ ,
Nhưng vậy không có m, n nào thỏa mãn.
Bài 4: Có tồn tại hay không hai số nguyên x, y thỏa mãn :
HD:
Ta có:
Tương tự ta có: ,
Biến đổi PT thành: . Mà , Vậy không tồn tại x, y, z
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Phương trình <=>
Vì VP là 1 số lẻ => là số lẻ ,
Giả sử : => d lẻ , Mà :
là số chính phương =>
Bài 6: Tìm các cặp số tự nhiên thỏa mãn : 
HD:
Xét
Xét còn dư 0 hoặc 1
=> dư 0 hoặc dư 1, Mà 3026 chia 3 dư 2 => Vô lý
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có : mà 5 :2 dư 1=> x2 chia 2 dư 1=> x2 chia 8 dư 1=>2y2 +x2 chia 8 dư 1 hoặc 3
mà 5 chia 8 dư 5=> Vô lý
vậy không có giá trị x, y nguyên thỏa mãn
Bài 8: Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên :
HD:
Với y < 0 => Phương trình vô nghiệm
Nếu y = 0, 1, 2, 3 => Phương trình cũng vô nghiệm
Nếu
=>( Vô lý) do số chính phương chia 8 dưa 0 hoặc 1 hoặc 4
Bài 9: Tìm x, y nguyên sao cho :
HD:
Xét
Xét Vô lý
Với dư 3=> y là số lẻ=> y=2k+1=> dư 1 (vl)
Vậy không tồn tại x, y nguyên
Bài 10: Tìm x, y nguyên sao cho :
HD :
TH1 : x là số lẻ :
=> chia 3 dư 2
VP là 1 số chính phương chia 3 không dư 2
TH2 : x là số chẵn :

Thấy và
hoặc
Bài 11: Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn:
HD:
Vì x, y nguyên tố nên , từ PT đã cho ta suy ra và z là số lẻ (do z nguyên tố)
Vì z lẻ nên x chẵn hay x=2, Khi đó:
Nếu y lẻ thì z chia hết cho 3, loại, vậy y=2
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
HD:
TH1: x = 1 thay vào pt suy ra y = 1
TH2: x là số lẻ lớn hơn 1, đặt x = 2k + 1 (k N*) 
Ta có nên
 y = 1 (vì nếu y ≥ 2 thì 2y chia hết cho 4)
Thay y = 1 vào pt ta được x = 1 (loại)
TH3: x là số chẵn, đặt x = 2k ( k N*), thay vào pt ta có:

 3k – 1 và 3k +1 là các lũy thừa của 2
Đặt (a, b N*, a > b)
Ta có 2 =
Suy ra b = 1 ; a = 2  k = 1  x = 2; y = 3
Vậy pt có nghiệm (x; y) = (1; 1); (2; 3)
Bài 13: Chứng minh rằng PT sau không có nghiệm nguyên: (1)
HD:
Giả sử PT có nghiệm nguyên, Từ => x là số lẻ thay vào (1) ta được:
(2)
Từ (2) suy ra y là số chẵn, Đặt thay vào (2) và rút gọn ta được :
lẻ, Vô lý, Vậy PT không có nghiệm nguyên.

Bài 14:Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thỏa mãn:
HD :
Với là các số nguyên dương.
Xét phương trình: là số nguyên dương
Nếu Khi đó : với x là số nguyên thỏa mãn
Nếu không thỏa mãn đề bài
Nếu . Vì z là số nguyên dương nên

Do đó tồn tại số nguyên dương k saocho :
Nếu vô lý
Nếu
Vì x; y nguyên dương nên
Vậy có bộ số với x = y là số nguyên dương tùy ý và









DẠNG 10: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Ta có :
=> Vô nghiệm
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về thành : , Vô nghiệm
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên :
HD :
Đưa phương trình về dạng : , Vô nghiệm

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Ta chứng tỏ PT đã cho không có nghiệm nguyên. Giả sử PT có nghiệm nguyên
Ta có: và
Từ (1)
Từ trái với (1)
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Từ PT đã cho ta suy ra x là số lẻ và vô lý, PT vô nghiệm.
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Biến đổi PT thành:
Giả sử PT đã cho có nghiệm. Khi đó ,
Vì 19 là số nguyên tố có dạng mâu thuẫn,
vì là số chính phương nên chia 4 chỉ có dư là 0 hoặc 1 chia 4 chỉ có dư là 1 hoặc 2
vậy PT vô nghiệm
Bài 7: Tìm các số tự nhiên x, y, thỏa mãn:
HD:
Ta có:
Bài 8: Tìm các số tự nhiên x, y, thỏa mãn:
HD:
Nếu x chẵn thì: loại
Nếu x lẻ thì :
Bài 9: Tìm các số tự nhiên x, y, thỏa mãn:
HD:
Nếu x lẻ thì chia hết cho 3, còn không chia hết cho 3, loại
Nếu x chẵn thì


Bài 10: Tìm thỏa mãn: (*)
HD:
Ta có: , Khi đó (*) trở thành : (1)
Nếu ,
Nếu
Nếu và z lẻ
Vậy z có dạng , Nhưng khi đó loại
Vậy PT có hai nghiệm là
Bài 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
HD:
Nếu y chẵn thì
Từ PT đã cho ta suy ra
Nếu y lẻ thì
Từ PT đã cho ta suy ra
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
HD:
Xét đồng dư theo mod3 và mod4 ta suy ra x, y chẵn,
Sau đó giải tương tự như câu a ta được: x=4; y=2
Bài 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Nếu , Từ đó suy ra:

+ Nếu loại
+ Nếu vô nghiệm
+ Nếu là số lẻ chẵn. Đặt ta có :
hoặc hoặc , từ đó tìm đc x, y, z
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Xét đồng dư theo mod 3 và mod 4 ta suy ra: x và z đều chẵn. Đặt
Thay vào PT ta được:
Cộng theo từng vế ta có: và (3)
Từ (1)
Bài 15: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn phương trình:
HD:
Nếu n lẻ thì: . Từ PT đã cho ta suy ra: loại.
Nếu n chẵn thì: và PT đã cho trở thành:

Chọn là các ước của 153 ta tìm được:
Bài 16: Tìm các số nguyên x, y sao cho: (*)
HD:
Tù (*) suy ra ta có: , ta có :
, Vì và ,

Từ (1) thay vào (2) ta được : (3)
Nếu thì từ (1) => x=0 thay vòa (*) ta được y=0
Nếu thì từ (3) suy ra thay vào (2) ta được : x=1, do (x>-1)
Thay vào (*) ta được : y=2
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y sao cho:
HD:
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
HD:
Làm như trên ta được nghiệm
Bài 19: Tìm nghiệm tự nhiên của PT: (1)
HD:
Giả sử PT có nghiệm nguyên. Khi đó: là số lẻ. (2)
Từ (1) ta cung có : chẵn, mâu thuẫn với (2)
Bài 20: Tìm sao cho: (1)
HD:
Giả sử: và không cùng chẵn,
Từ (1) (2)
Từ (2) đều lẻ

Bài 21: Tìm nghiệm nguyên của PT sau:
HD:
Sử dụng tính chất của số nguyên tố có dạng
Ta có: (1)
Nếu y chẵn thì loại
Nếu y lẻ thì có dạng có ước nguyên tố p dạng
Từ (1) loại
Bài 22: Tìm nghiệm nguyên của PT:
HD:
Sử dụng tính chất của số nguyên tố có dạng , Đáp án:


Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên biết :
HD :
Từ PT ta có : Nếu n không chia hết cho 3 thì khi chia cho 7 chỉ có số dư là 2,
4, 7. Mà khi chia cho 7 chỉ có số dư là 0 ; 1 ; 6 nên không thể có
Vậy , Thay vào phương trình ta được : (1)
Từ (1) mà
Nếu Vô nghiệm
Nếu Vô nghiệm
Nếu



















DẠNG 11: PHƯƠNG PHÁP XUỐNG THANG

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
HD:
Biến đổi phương trình thành: (1)
Từ (1) , do đó: x, y đều chia hết cho 3. Đặt
Thay vào PT : (2)
Từ (2) lập luận như trên ta được: thay vào (2) ta được: (3)
Từ (3) suy ra s, t không đồng thời bằng 0 . Nên (3) vô nghiệm
Khi đó Phương trình (1) vô nghiệm
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Biến đổi phương trình thành:
Đặt phương trình trở thành: (1)
Từ (1) ta thấy u và v cùng tính chẵn lẻ
Nếu u, v cùng lẻ thì , do đó (1) không xảy ra=> u, v cùng lẻ loại
Vậy u, v cùng chẵn, Đặt , khi đó PT trở thành: (2)
Từ (2) lập luận như trên ta lại có cùng chẵn, Đặt thay vào (2):
(3)
Từ (3) lập luận như trên ta lại thấy cùng chẵn.
Đặt thay vào PT (3) ta được: (4)
Từ (4) ta thấy rằng u là lập phương của 1 số nguyên nên cũng là lập phương của 1 số nguyên
Từ đó ta tìm được cặp Thay vào tìm được cặp x, y
Bài 3: Tìm nghiệm của phương trình:
HD:
Từ phương trình đã cho suy ra x chẵn: hay , thay vào PT ta được:
Từ đó ta lại có y là số chẵn, Đặt thay vào PT ta được :
Lại thấy z là số chẵn:Đặt thay vào ta được:
Vậy nếu là nghiệm của Pt đã cho thì cũng là nghiệm của phương trình đã cho Một cách tổng quát: cũng là nghiệm của PT đã cho với mọi n N, hay chia
hết cho => x=y=z=0
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của PT :
HD :
Sử dụng PP cực hạn, Hãy chứng minh rằng: Nếu là 1 nghiệm của PT thì cũng là 1 nghiệm của PT


Bài 5: Tìm sao cho : (*)
HD:
Sử dụng PP xuống thang hoặc PP cực hạn.
Nhận thấy là 1 nghiệm của PT (*)
Giả sử ngoài nghiệm trên ta còn nghiệm thỏa mãn: (1)
Nếu cảu đều lẻ thì từ (1) ta suy ra chẵn
Khi đó: còn vô lý
Vậy 1 trong 2 nghiệm là số chẵn, Từ (1) cả đều là số chẵn.
Đặt thay vào (1) ta có:
cũng là nghiệm của (*)
Mà trái với cách chọn nghiệm.
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Từ PT đã cho ta suy ra y chia hết cho 3, đặt thay vào PT ta được: (1)
Từ (1) ta suy ra x chia hết cho 3, Đặt . Thay vào PT ta được: (2)
Từ (2) suy ra , Vô lý nên PT vô nghiệm
Bài 7: Tìm các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: (1)
HD:
Sử dụng PP xuống thang ta có:
Nếu cả x và y đều lẻ thì từ (1) suy ra z chẵn,
Khi đó: còn vô lý
Vậy 1 trong 2 biến x và y phải chẵn.
Giả sử x chẵn, Từ (1) ta suy ra: do đó cả y và z đều chẵn.
Đặt Thay vào (1) ta được: (2)
Từ (2) lại lập luận như trên ta suy ra: đều chẵn.
Cứ làm như vậy và chỉ ra
Bài 8: Tìm các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn:
HD :
Bài 9: Tìm các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn:
HD :
Bài 10: Tìm nghiệm nguyên của PT sau :
HD :
Sử dụng Phương pháp xuống thang ta có :
Bài 11:  Tìm nghiệm nguyên của PT :
HD :
Sử dụng PP xuống thang ta được :
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên của PT :
HD :
Sử dụng PP xuống thang :


Bài 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
HD :
Sử dụng pp xuống thang thì thấy PT vô nghiệm.
Bài 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
HD:
Trước hết ta nhận xét rằng : nếu n là số nguyên chẵn thì
Nếu n là một số nguyên lẻ thì chia cho 8 sẽ dư 1.
Suy ra cũng chia cho 8 dư 1.
Gọi nghiệm nguyên của phương trình là . ta có:
Do vế phải là số chẵn nên trong 4 số không thể có một hoặc ba số là số lẻ.
Nếu trong chúng có hai hoặc 4 số lẻ thì vế trái là số chia cho 8 dư 2 hoặc chia cho 8 dư 4. ( vô lý ).
Vì thể cả 4 số đều là số chẵn. Ta đặt :
Thay vào phương trình và chia hai vế cho 16 ta được:
Vì thế là một nghiệm của phương trình.
Lập luận tương tự, cũng là nghiệm của phương trình.
Vì nghiệm của phương trình là số nguyên nên chỉ xảy ra :
Thử lại ta thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: