PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
CẨM GIÀNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2016 - 2017
MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 01 trang



Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức:
với x
0;
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
b) Cho

Tính giá trị của biểu thức A = x2015 – x2016 + 2017.
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn:
.
Câu 3. (2,0 điểm)
a) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng
là hợp số.
b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 4. (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H thứ thự là giao điểm của AF với BE, BD. Vẽ
(M thuộc cạnh BC), O là giao điểm của IM và BD.
a) Tính độ dài của AI, BI.
b) Chứng minh 4 điểm B, I, H, M cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh DH.BO = OH.BD.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

.

---------------Hết---------------

Họ và tên học sinh:...................................................... Số báo danh:....................................
Họ và tên Giám thị:...................................................... Chữ ký:............................................

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2016 - 2017
MÔN: TOÁN LỚP 9
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang


Câu
Đáp án
Điểm

Câu 1
(2 điểm)
a)



Vậy
với x
0;










0,25



0,25



Xét

Với x
Z thì:

là số nguyên chẵn

là số nguyên lẻ


1)
(thỏa mãn ĐK)
2)
(thỏa mãn ĐK)
Vậy
là các giá trị cần tìm.






0,25




0,25


Ta có:







vì
, với mọi giá trị của x.
Thay x = 1 vào biểu thức A ta được:
A = 12015 – 12016 + 2017 = 2017.




0,25


0,25


0,25

0,25

Câu 2
(2 điểm)
a)
.
Đặt
= t, với t > 0, ta có t2 + 3x = (x + 3).t
Từ đó giải được t = x; t = 3
Do đó:
+ Với t = x, ta có
= x

vô nghiệm.
+ Với t = 3, ta có
= 3
x2 = 8
x =

Vậy phương trình có 2 nghiệm x =
.


0,25
0,25


0,25


0,25


b) Ta có: 5x – 3y = 2xy – 11

2xy + 3y = 5x + 11

y(2x + 3) = 5x + 11
Dễ thấy 2x + 3
0 (vì x nguyên) do đó


Để y
Z ta phải có 5x + 11
2x + 3









2x + 3 là ước của 7
Ta có
2x + 3
1
-1
7
-7

x
-1
-2
2
-5

y
6
-1
3
2

Vậy cặp số (x; y) nguyên cần tìm là (-1; 6); (-2; -1); (2; 3); (-5; 2)




0,25






0,25


0,5

Câu 3
(2 điểm)
a) Ta có n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc
n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 0.
+ Với n = 2k, ta có:

lớn hơn 2 và chia hết cho