CHỦ ĐỀ 1:
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN
Câu 1. Cho
là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình chữ nhật
. Chứng minh rằng
.
Câu 2. Cho tứ giác
có
. Chứng minh rằng
.
Câu 3. Cho tam giác
vuông tại
, đường cao
. Lấy
thuộc cạnh
, điểm
thuộc tia đối của tia
sao cho
. Chứng minh rằng
.
Câu 4. Cho hình vuông
. Qua
vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh
và
(hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm
và
.Chứng minh rằng:

Câu 5. Cho hình thoi
với
. Tia
tạo với tia
góc
bằng
và cắt cạnh
tại
, cắt đường thẳng
tại
. Chứng minh rằng:
. Câu 6. Cho tam giác cân
,
. Chứng minh rằng:
.
Câu 7. Cho tam giác
có ba góc nhọn,
. Chứng minh rằng:
. Câu 8. Cho tam giác
có
. Chứng minh rằng:
.
Câu 9. Cho góc vuông
và điểm
cố định thuộc tia
, điểm
sao cho
Điểm
chạy trên tia
. Đường vuông góc với
tại
cắt
ở
. Chứng minh tổng
không đổi.
Câu 10. Cho hình thang vuông
có
. Điểm
thuộc cạnh
sao cho

Chứng minh:

Tính

CHỦ ĐỀ 2:SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, QUAN HỆ HAI ĐƯỜNG TRÒN, GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Câu 11. Cho đường tròn
,
. vẽ dây cung
,
là điểm trên dây cung
sao cho
. Vẽ
vuông góc với
tại
. Tính độ dài đoạn thẳng
.
Câu 12. Cho đường tròn
,
và
là hai đường kính . Xác định vị trí của hai đường kính
và
để diện tích tứ giác
lớn nhất.
Câu 13. Cho đường tròn
từ điểm
bên ngoài đường tròn ta kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt đường tròn tại các điểm
và
biết
. Chứng minh rằng
.
Câu 14. Cho đường tròn
đường kính
là dây cung của
,
,
cắt
tại
(
nằm giữa
và
) và
. Tính độ dài các đoạn thẳng
theo
.
Câu 15. Cho điểm
nằm giữa hai điểm
và
. Gọi
là đường tròn bất kỳ đi qua
và
. Qua
vẽ đường thẳng vuông góc với
, cắt đường tròn
ở
và
. Chứng minh rằng các độ dài
không đổi.
Câu 16. Cho đường tròn
, hai bán kính
và
vuông góc tại
.
và
là các điểm trên cung
sao cho
và hai dây
cắt nhau tại
. Chứng minh rằng
.
Câu 17. Cho điểm
ở ngoài đường tròn
. Vẽ cát tuyến
và tiếp tuyến
với đường tròn
.
là tiếp điểm. Chứng minh rằng
.
Câu 18. Cho đoạn thẳng
, đường thẳng
và
lần lượt vuông góc với
tại
và
.
là trung điểm của
. Lấy
lần lượt trên
sao cho
. Chứng minh rằng
là tiếp tuyến của dường tròn đường kính
.
Câu 19. Từ điểm
nằm ngoài đường tròn
vẽ hai tiếp tuyến
và
tới đường tròn
với
và
là các tiếp điểm. Gọi
là chân đường vuông góc vẽ từ
đến đường kính
của đường tròn. Chứng minh rằng
cắt
tại trung điểm
của
.
Câu 20. Một đường tròn nội tiếp tam giác
tiếp xúc với
lần lượt tại
. Cho điểm
thuộc đoạn thẳng
;
cắt
tại
. Chứng minh rằng
.
Câu 21. Cho đường tròn
nội tiếp tam giác
tiếp xúc với
tại
. Vẽ đường kính

cắt
tại
. Chứng minh rằng
.
Câu 22. Cho tam giác
. Một đường tròn tâm
nội tiếp tam giác
và tiếp xúc với
tại
. Đường tròn tâm
là đường tròn bàng tiếp trong góc
của tam giác
và tiếp xúc với
tại
. Vẽ đường kính
của đường tròn
. Chứng minh rằng
thẳng hàng.
Câu 23. Đường tròn tâm
nội tiếp tam giác
tiếp xúc với
lần lượt ở
. Đường thẳng qua
song song với
cắt
lần lượt ở
. Chứng minh rằng
là trung điểm của đoạn thẳng
.
Câu 24. Cho tam giác nhọn
. Gọi
là trung điểm của
. Dựng đường tròn tâm
đường kính
. Vẽ đường cao
của tam giác
và các tiếp tuyến
với đường tròn
(
là các tiếp điểm). Gọi
là giao điểm của
với
. Hãy chứng minh rằng
.
Câu 25. Cho tứ giác
có đường tròn đường kính
tiếp xúc với
và đường tròn đường kính
tiếp xúc với
. Chứng minh rằng
.
Câu 26. Cho tam giác đều
. Trên nửa mặt phẳng bờ
không chứa điểm
vẽ nửa đường tròn đường kính
,
là điểm trên nủa đường