MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10
Bài 1. Với
là số thực không âm. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


Hướng dẫn: Ta có:

suy ra Tương tụ:
Suy ra:
Từ
ta suy ra:
Dấu đẳng thức xảy ra tại

Bài 2. Cho các số thực dương
thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn:Ta có Ta chứng minh:
hay
Bất đẳng thức này luôn đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi Vậy GTNN của
là
tại
Bài 3.Với
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: Tìm GTLN của biều thức: Hướng dẫn: Ta sẽ chứng minh:
hay
hay
Sử dụng công thức khai triển
Ta viết lại vế trái bất đẳng thức cần chứng minh thành:

hay
Chú ý rằng với điều kiện:
thì
nên bất đẳng thức được chứng minh.Dấu `=` xảy ra khi và chi khi Bài 3. Cho các số thực
thỏa mãn
Chứmg minh rằng:
Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có:


Mặt khác
Xét biểu thức Từ điều kiện xác định ta có
Dẫn đến

Ta có:
Dấu đằng thức xảy khi và chi khi
và Vậy GTNN của
là
tại Bài 4.Cho các số thục
thỏa mãn: Tìm GTNN của
Hướng dẫn: Giả sử
là các số thực thỏa mãn Ta có tương tự
Đặt:
với Tương tự với
ta sẽ thu được Ta có


Nên Xét
ta có:
với điều kiện Ta có: Dấu = xảy ra khi và chi khi Bải 5:Cho các số thực dương
thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của


Hướng dẫn: Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:
Ta chứng minh:
hay
Chú ý rằng:
dẫn đến Cuối cùng ta chi cần chi ra
nhưng điều này luôn đúng do Vậy GTNN của
là
tại

Bài 6.Cho 3 số thực không âm Chứng minh rằng:


Hướng dẫn: Ta có Nên Ta chứng minh:
Mặt khác ta chứng minh được:
thật vậy bất đằng thức cần chứng minh tương đương với bất đằng thức cuối củng đúng vầy
được chứng minh. Tương tự ta cũng có: Cộng ba bất đẳng thức củng chiều ta có đpcm. Dấu đẳng thức xày ra khi và chi khi Bài 7. Cho các số thụ̣c
không đồng thời bằng 0 và
Biết Tim giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của Hướng dẫn: Tủ
chia 2 vế cho
ta thu được:


đặt
suy ra


Vì



Suy ra
suy ra Bài 8:Cho các số thực
thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Hướng dẫn: Ta có
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Do vai trò
như nhau nên ta có thể giả sử
thế thì

ta có

mà
nên Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi


hoặc Bài 9.Cho các số thực dương Chứng minh:


Hướng dẫn: Đặt:
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: Ta có
Ta chứng minh:

Chú ý rẳng: Ta cũng có:


Từ đó suy ra


Ta có:
hay
với
Ta viết lại Tiếp tục sử dụng BĐT CauchySchwarz ta có:


Vậy
dẫn đến
nền
đpcm. Dấu đẳng thức xày ra tại Bài 10. Cho các số thực dương
thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của


Hướng dẫn: Ta chứng minh:
hay Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa và suy ra Cuối cùng ta sẽ chứng minh:

Hay chứng minh:
( Đây là một bất đẳng thức nổi tiếng ). Sứ dụng đánh giá:
với
ta có:


Khai triển và thu gọn vế phải ta được: Dấu đẳng thức xày ra khi và chi khi Bài 11. Cho các số thực không âm
thóa mãn: Tìm GTLN,GTNN của

Hướng dẫn: Ta có
dấu đẳng thức xày ra