Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn , Chứng minh rằng:

Lời giải
Ta có:
Tương tự có: ;
Suy ra
Đặt ta có: ( do )
Suy ra:
Dễ cm đc



Vậy Dấu “_” xảy ra khi
Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Cho , , là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: .
Lời giải
Đặt .
Có , , là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:
., mà .
.
Có .
Suy ra .
Có .
Do đó ., .
Suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Vậy .
Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

Lời giải
Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Cho là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện
Chứng minh .
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh




Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có .
Dấu “=” xảy ra khi .
Hoàn tất chứng minh.
Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab
Chứng minh rằng:
.Lời giải
.Từ a + b = 4ab .
.Chứng minh được BĐT: Với x, y >0 ta có (*) .
.Áp dụng (*) ta có

=
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020)Cho là ba số dương. Chứng minh
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cho hai số ta chứng minh được .
Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Chứng minh .
Lời giải
.
.
Ta có :
.

Vậy .
Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức với x, y > 0.
Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

(luôn đúng)
Do đó: với x, y > 0.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

Tương tự ta có:
Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:


Do đó (đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:

Lời giải
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
Áp dụng bất đẳng thức cô si


Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Giải bất phương trình
Lời giải
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x >
Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Rút gọn biêu thức .
Lời giải

Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức với
Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số
ta có

(*)
Dấu “=” xảy khi khi
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có



Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

Dấu “=” xảy ra khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức khi
Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020) Cho hai số thực thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

Dấu xảy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 80 khi x = 3; y =3.
Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Lời giải
Ta có nên
Áp dụng BĐT , ta có:
Hay
Từ đó ta có:

Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi

Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vì nên .
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là đạt được khi .
+) Vì nên Suy ra .
Mặt khác . Suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
Giá trị lớn nhất của biểu thức là đạt được khi
Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Cho là các số thực dương thỏa
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có: thay vào A ta được:



Dễ thấy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
Suy ra
Dấu "=" xảy ra khi
Vậy khi
Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

=

Ta lại có:
Khi đó:

Vậy
Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Cho là hai số thực thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Với , ta có

Vì và .
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương , ta có

Suy ra .
Dấu đẳng thức xảy ra .
Mà
Vậy tại hoặc
Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

Từ chỉ ra được
Suy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi
Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vì nên .
Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là đạt được khi .
+) Vì nên Suy ra .
Mặt khác . Suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
Giá trị lớn nhất của biểu thức là đạt được khi
Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Cho ba số thực dương thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:.
Lời giải
Đặt , ta được: .
Khi đó: .
Xét
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.
Tương tự ta có: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ; .
Cộng các vế ta được: .
Vậy giá trị lớn nhất của bằng khi và chỉ khi hay giá trị lớn nhất của bằng khi và chỉ khi .
Câu 22. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020) Cho biểu thức với là các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
Ta có thay vào ta được.

.
Vì , mà .
Và .
Từ và suy ra
Vậy . Dấu = xảy ra khi .
. Dấu = xảy ra khi hoặc .
Câu 23. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có:
Từ giả thiết
(vì )



Vậy giá trị lớn nhất của P bằng khi .
Câu 24. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương thỏa mãn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có:
Từ giả thiết




Giá trị lớn nhất của P bằng khi .
Câu 25. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2019-2020) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
Tương tự ta cũng có:


Lại có:
Tương tự
Suy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3/2 khi x = y = z = 1.
Câu 26. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Cho các số dương thỏa mãn điều kiện: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Lời giải
.Ta có:

Tương tự:


Dấu “=” xảy ra
Vậy
Câu 27. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Cho là ba số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:

.
Cộng theo các vế của ba bất đẳng thức trên ta được

.

Dấu “=” xảy ra khi
Vậy .
Câu 28. (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Với , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Điều kiện
Ta có
Đặt ta được:
với mọi t thuộc R
Dấu “=” xảy ra khi . Vậy khi
Câu 29. (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020) Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có:
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2
 [(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2
 (x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2
 (x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2
 (x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2
 (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2
 x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0
Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z
 x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0  x + y + z
Đặt x + y + z = t (t > 0)  x² + y² + z² - xy - xz – yz khi đó ta có

Áp dụng BĐT Cô si ta có: (dấu bằng xảy ra  t = 2)
(dấu bằng xảy ra  t = 2)
 P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6

Dạng 8. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2018-2019)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn , Chứng minh rằng:

Lời giải
Ta có:
Tương tự có: ;
Suy ra
Đặt ta có: ( do )
Suy ra:
Dễ cm đc



Vậy Dấu “_” xảy ra khi

Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Vũng Tàu năm 2018-2019)
Cho ba số thực dương a, b thỏa a + b + 3ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải
Đặt
Ta có:
.
Ta có:


Dễ dàng chứng minh
.
(1)
Ta có: (2).
Từ (1) và (2) suy ra: .
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của P là đạt được khi .
Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với
Lời giải
Với , ta có:



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( thỏa mãn).
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của là 2018 khi
Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019)
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
; ; .
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:
.
Dấu “=” xảy ra .
Vậy giá trị nhỏ nhất của A =12 khi

Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019)
Cho là số tự nhiên khác . Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải
Ta có


Do đó

Áp dụng Bất đẳng thức Cau-chy ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Vậy khi .

Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2018-2019)
Cho x, y là các số không âm thỏa mãn Chứng minh

Lời giải
Ta có:
Ta có
=>
Đặt t=xy ta có 0
Ta cần chứng minh :
Ta có
Với
Do đó
Đẳng thức được CM dấu "=" khi

Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019)
Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
Lời giải
Ta có


Áp dụng BĐT Cô - Si ta có

Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Kum Tum năm 2018-2019)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải

Câu 9: (Tuyển sinh tỉnh Tuyên Quang năm học 2018 – 2019)
Cho x, y dương thỏa . Tìm
Giải:


Câu 10: (Tuyển sinh TP Hà Nội năm học 2018 – 2019)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
Giải:

Điều kiện:
Ta có:
*) Đặt
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi
*) Đặt
Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Do đó
Dấu “=” xảy ra khi x = 0
Giá trị nhỏ nhất là P = 2 khi x = 0
Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2018-2019)
Cho phương trình là tham số)
Giả sử là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải
Ta có:
Phương trình luôn có hai nghiệm với mọi
Khi đó theo hệ thức Vi-ét, ta có:





Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2018-2019)
Cho x, y là các số không âm thỏa mãn Chứng minh

Lời giải
Ta có:
Ta có
=>
Đặt t=xy ta có 0
Ta cần chứng minh :
Ta có
Với
Do đó
Đẳng thức được CM dấu "=" khi

Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019)
Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
Lời giải
Ta có


Áp dụng BĐT Cô - Si ta có


Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Kum Tum năm 2018-2019)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải


(Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2018-2019)
Cho x, y là các số không âm thỏa mãn Chứng minh

Lời giải
Ta có:
Ta có
=>
Đặt t=xy ta có 0
Ta cần chứng minh :
Ta có
Với
Do đó
Đẳng thức được CM dấu "=" khi

Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019)
Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =
Lời giải
Ta có


Áp dụng BĐT Cô - Si ta có


Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Kum Tum năm 2018-2019)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải


Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Phú Thọ năm 2018-2019)
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có bổ đề : Nếu thì
Dấu bằng xảy ra
Áp dụng bổ đề trên ta có:
mà
ta được

Ta lại có:
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy khi .

Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019)
Cho các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có:
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

Lại có:
Do đó:
Dấu “=” xảy ra
Vậy

Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019)
Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
+ + .
Lời giải
. (1)








. (2)
Vì là độ dài ba cạnh của tam giác nên , suy ra .
Tương tự ta có và .
Nhân vế với vế ba bất đẳng thức nói trên ta có
, (2) đúng. Suy ra (1) đúng (đpcm).

Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2018-2019)
Cho là các số thực dương thỏa mãn:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = .
Lời giải
Từ GT suy ra:
Ta có:

.
Dấu “=” xảy ra khi: .

Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh Sơn La năm 2018-2019)
Cho hai số dương a, b thỏa Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Với mọi a,b ta luôn có :


Vì a, b đều dương nên ab và a+b cùng dương nên (*) trở thành:
mà

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Vậy .

Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019)
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh

Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Khi đó:
Áp dụng bất đẳng thức với mọi ta được
Lại có
Thay vào ta được .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018)
Cho hai số thực dương , thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Lời giải
Ta có




Do đó đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và .
Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018)
Cho bốn số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Ta có 




.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của là 16, xảy ra khi và chỉ khi
Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2017-2018)
Cho , , là ba số thực dương. CMR:
Lời giải
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz :

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số , , ta được:

Do đó:
(đpcm)
Dấu xảy ra khi .
Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2017-2018)
Cho , , là các số dương thay đổi thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
Lời giải
Đặt ; ; ;


Ta có:





Dấu xảy ra khi .
Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắc năm 2017-2018)
Cho hai số thực dương , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải
Với ta có: .
Đặt ; .
Khi đó: .
(Vì ).
Vậy .
Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2017-2018)
Cho là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện và
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Cách 1: Theo đề bài Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có


Từ và
Đặt


Ta tìm giá trị nhỏ nhất của .





Dấu bằng xảy ra khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của

Cách 2: Vì
.
Ta chứng minh đẳng thức với không âm.







Luôn đúng, dấu xảy ra khi


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có


Vậy GTNN của khi
Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai năm 2017-2018)
Tìm các chữ số , , biết .
Lời giải
Điều kiện
Ta có
.
+ TH1. không thỏa mãn .
+ TH2. .
Kết hợp với ta được , , thỏa mãn.
Vậy , , .
Câu 8. (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh năm 2017-2018)
Cho là ba số thực không âm thỏa mãn .
Chứng minh
Lời giải
Từ giả thiết:  ; ;
Suy ra

Đặt
Suy rata phải chứng minh
Áp dụng BĐT Cauchy ta có : suy ra
suy ra , do suy ra (1)
Mặt khác do suy (2)
Từ (1) và (2) suy ra suy ra bài toán được chứng minh.
Câu 9. (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2017-2018)
Cho là ba số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Lời giải

Xét , áp dụng kỹ thuật Côsi ngược dấu ta có:
.
Tương tự: ; ;
Suy ra .
Lại có:
Suy ra: .
Dấu xảy ra .
Xét: , ta có:

.
Suy ra: .
Dấu xảy ra
Từ đó suy ra: . Dấu xảy ra .
Vậy .
Câu 10. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2017-2018)
Cho các số thực thay đổi luôn thỏa mãn: và .
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
+ Tìm giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:


Dấu '=' xảy ra .
+ Tìm giá trị lớn nhất.
Vì





Dấu '=' xảy ra .
Vậy GTNN của là , xảy ra khi và chỉ khi .
GTLN của là , xảy ra khi và chỉ khi .
Câu 11. (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2017-2018)
a) Cho hai số. Chứng minh rằng
b) Cho ba số dương thỏa mãn.
Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Xét hiệu:
(do )
Vậy
Dấu “=” xảy ra
b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:
;
Chứng minh được với ta có
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
;
Từ (1) và (2) suy ra .
Chứng minh tương tự ta được:
.
Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
.
Dấu “=” xảy ra
Vậy (đpcm).

Câu 1: (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2017-2018)
Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Lời giải
Ta có:


.
Dấu xảy ra khi .
Vậy GTNN của bằng 3 khi .
Câu 12. (Tuyển sinh tỉnh Hòa Bình năm 2017-2018)
Cho các số dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng: .
Lời giải
Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có


Dấu “=” xảy ra khi ( vô lý vì ).
Vậy .
Câu 13. (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017-2018)
Cho , là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Lời giải
Đặt ; (; ) thì
Vì ; nên:

Lại có:

Dấu bằng xảy ra: .
Vậy max .
Câu 14. (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2017-2018)
Cho hai số thực dương , thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải
Ta có: .
Với , ta có (*). (Chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc cô-si).
Áp dụng (*) cho hai số dương ; ta được:
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương , ta có:
.

Do đó .
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi .
Câu 15. (Tuyển sinh tỉnh Kiên Giang năm 2017-2018)
Cho hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu tâm (các đỉnh của hình hộp chữ chữ nhật nằm trên mặt cầu). Các kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là Gọi là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, là diện tích mặt cầu. Tìm mối liên hệ giữa để tỉ lệ lớn nhất.
Lời giải
Ta có

Do đó:

Mặt khác
Do đó, tỉ lệ lớn nhất là Điều này xảy ra khi và chỉ khi


Câu 16. (Tuyển sinh tỉnh Kon Tum năm 2017-2018)
Cho các số thực , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải


Mà .
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng tại .
Câu 17. (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2017-2018)
Cho , , là ba số thực dương, thoả mãn: .
Chứng minh rằng: .
Lời giải
Đặt .
Từ giả thiết, ta có: .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương, ta có:
.
Tương tự, ta có:
.
.
Cộng , , , ta được:
.
Suy ra hay .
Dấu “” xảy ra .
Câu 18. (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái năm 2017-2018)
Cho x,y là các số dương thỏa màn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
- Dùng máy tính casio ta chọn được điểm rơi tại x = 2, y = 4. Nên ta có:

- Áp dụng BĐT Cô-si cho từng cặp số trong ngoặc ta được

Dấu bằng xảy ra khi:
Vậy Pmin = 19 tại .
Câu 19. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình 2017 – 2018 )
Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Lời giải


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Chứng minh tương tự ta có:


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Từ và suy ra: . Đẳng thức xảy ra .
Vậy , khi .
Câu 20. (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2017-2018)
Cho hai số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Có
Giá trị nhỏ nhất của bằng . Khi .
Câu 21. (Tuyển sinh tỉnh Phú Yên năm 2017-2018)
Biết rằng các số , thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Cách 1:
Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của , đều bình đẳng nên đạt GTNN khi . Do đó, ta biến đổi như bên dưới.
Ta có: .
Suy ra .
Hay ta có:
Dấu “=” xảy ra khi .
Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là khi .
Cách 2:
Do . Khi đó, ta có:
.
Dấu “=” xảy ra khi .
Vậy, khi .
Câu 22. (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2017-2018)

Cho ba số thực dương thỏa mãn .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải

+ Áp dụng: ta có , dấu bằng xảy ra khi .

.
Suy ra
.
Vậy giá trị lớn nhất của bằng 3 khi .