Câu 61.Cho nửa đường tròn
đường kính
,
là một điểm nằm trên đoạn
(
khác
khác
. Trên nửa mặt phẳng bờ
chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến
với nửa đường tròn. M là một điểm nằm trên nửa đường tròn (
khác
khác
đường thẳng qua
vuông góc với
cắt tia
lần lượt tại

1)Chứng minh tứ giác
nội tiếp
2)Chứng minh
đồng dạng với

3)Gọi
là giao điểm của
và
.
là giao điểm của
và
.Chứng minh
đi qua trung điểm của
.
Lời giải
/

1.Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp.
+) Ta có : PQ
MC tại M ( gt)

+) PA
AB ( t/c tiếp tuyến của đường tròn)

+) Xét tứ giác PMCA có :
là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính PC ( vì tứ giác có hai góc đối có tổng bằng
).
2.Chứng minh
đồng dạng
.
+) Xét đường tròn đường kính PC có

+) Ta có : MQ
MC tại M ( gt)

+) BA
BQ ( t/c tiếp tuyến của đường tròn)

+) Xét tứ giác MQBC có :
là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính QC ( vì tứ giác có 2 góc đối có tổng bằng
).



Xét
và
có
và


đồng dạng
( g.g).
3.Gọi D là giao điểm của CP và AM, E là giao điểm của CQ và BM.
CMR: OD đi qua trung điểm của DE.
Gọi K là giao điểm của OM và DE
Ta có
( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(
đồng dạng
) .
Xét tứ giác : MDCE có
Tứ giác MDCE nội tiếp đường tròn đường kính DE ( vì tứ giác có 2 góc đối có tổng bằng
).



Xét đường tròn đường kính PC có
( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2)
/
Xét đường tròn đường kính
có



Mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên
// AB.
+) Xét
và
có
( chung) và
( đồng vị ).

đồng dạng
( g.g).

(4)
+ Tương tự
đồng dạng
( g.g).


( 5)
Từ (4) và (5)
Mà OA = OB = R
hay OM đi qua trung điểm DE.
Câu62. Từ điểm
nằm ngoài đường tròn
kẻ tiếp tuyến
với
,
là tiếp điểm và cát tuyến
và
nằm trên cung nhỏ
. Gọi
là trung điểm của
. Gọi
là giao điểm của
với
.
a) Chứng minh 4 điểm
cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh
.
c) Đường thẳng
cắt tiếp tuyến
lần lượt tại
và
qua
kẻ đường thẳng vuông góc với
cắt
tại
.Qua
kẻ đường thẳng vuông góc với
cắt
tại lần lượt tại
và
. Chứng minh
cân và
đi qua trung điểm
của
.
Lời giải


/


a) Xét
có
là các tiếp tuyến

Tứ giác
có:

Tứ giác
nội tiếp

Bốn điểm
cùng thuộc một đường tròn.
b) Vì
là trung điểm của
nên


Xét tứ giác
có:


Tứ giác
nội tiếp.

Bốn điểm
cùng thuộc một đường tròn.
Mà bốn điểm
cùng thuộc một đường tròn (ý a)
Suy ra: năm điểm
cùng thuộc mộtđường tròn.

Tứ giác
nội tiếp

Lại có
(cùng bằng
Suy ra:

Mặt khác hai góc này ở vị trí đồng vị
Suy ra:

c, Xét tứ giác
có:


Tứ giác
nội tiếp
(1)
Xét tứ giác
có:


Tứ giác
nội tiếp
(2)
Xét
có:



cân tại

(3)
Từ (1) (2) (3) suy ra:

Xét
có:



cân tại

Gọi
là giao điểm của
và

Vì
cân tại
nên
vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến


là trung điểm của



Ta có:




có
nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-let ta có:
(3)

có
nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-let ta có:
(4)
Từ (3) (4) suy ra

Mà

Suy ra:


là trung điểm của

Lại có
thẳng hàng
Suy ra