Bài41.Cho hình vuông
có điểm
thuộc cạnh
. Qua
kẻ đường thẳng vuông góc với
, đường thẳng này cắt các đường thẳng
và
theo thứ tự ở
và
.
1. Chứng minh rằng tứ giác
nội tiếp được một đường tròn. Xác định tâm
của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
2. Chứng minh

3. Gọi
là giao điểm của
với
. Chứng minh
là tâm đường tròn nội tiếp

4. Với vị trí nào của
trên cạnh
để
.
Lời giải:

/
1. Ta có


(
là hình vuông)
Xét tứ giác
có:

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác
nội tiếp một đường tròn đường kính
.
Suy ra trung điểm
của
là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
.
2. +) Xét
và
, có :

và





3.
+) Xét
có:


(
là hình chữ nhật) .



cắt
tại

Suy ra


Mà

Suy ra
là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
(hai đỉnh liên tiếp
cùng nhìn cạnh đối diện
dưới hai góc bằng
).

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
).
+) Xét (
) ta có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
).
Suy ra

là tia phân giác góc
.
+) Tứ giác
có


Tứ giác
nội tiếp đường tròn đường kính
.

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
)
+) Xét đường tròn tâm
ta có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
)
+) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác
có:
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
)
Suy ra


là tia phân giác của góc



là giao điểm của hai đường phân giác trong của
.


là tâm đường tròn nội tiếp

4. Để
thì
là trung điểm của
(vì
là trung điểm của
). Khi đó
vừa là đường cao, đường trung tuyến của
nên
cân tại
.
Do đó:
. Như vậy trên tia
lấy điểm
sao cho
. Điểm
là giao điểm của
và trung trực của cạnh
.
Do đó:
.
Ta có



+) Xét
vuông tại
có
(tính chất hình vuông)

vuông cân tại


(đối đỉnh)
Suy ra
vuông cân tại


Vậy nếu điểm
nằm trên đoạn
sao cho
thì


Bài42.Cho đường tròn tâm
và điểm
nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến
và
vớiđường tròn
(
,
là tiếp điểm). Gọi
là giao điểm của
và
. Qua
vẽ cát tuyến
(
nằm giữa
và
;
và
nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là
). Gọi
là trung điểm của dây
.
a) Chứng minh tứ giác
và tứ giác
là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh
.
c) Chứng minh
, từ đó chứng minh
.
d) Đường thẳng qua
vuông góc với
cắt
và
thứ tự tại
và
. Chứng minh
.
Lời giải
/
a)+) Vì
và
là các tiếp tuyến tại
và
của


.
Tứ giác
có
. Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.
Suy ra
là tứ giác nội tiếp.
+) Xét
có
là trung điểm của dây
không đi qua tâm

(quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

.
+) Tứ giác
có
. Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.


là tứ giác nội tiếp.
b) Xét
có
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung
).
/
Xét
và
có :
Chung


(cmt)

(g-g)




c)+) Vì
và
là hai tiếp tuyến tại
và
của
cắt nhau ở


(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có
(cùng bằng bán kính
)

là đường trung trực của


.
+) Xét
có


(hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Từ
và
ta có


.

+) Xét
và
có :
Chung


(cmt)

(c-g-c)

(hai góc tương ứng)

là tứ giác nội tiếp (vì có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

(hai góc nội tiếp cùng chắn
)
Mà
(góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung)

.

d) +) Ta có
(vì cùng vuông góc với
)