Câu 61. Cho nửa đường tròn đường kính , là một điểm nằm trên đoạn ( khác khác . Trên nửa mặt phẳng bờ chứa nửa đường tròn vẽ các tiếp tuyến với nửa đường tròn. M là một điểm nằm trên nửa đường tròn ( khác khác đường thẳng qua vuông góc với cắt tia lần lượt tại
1)Chứng minh tứ giác nội tiếp
2)Chứng minh đồng dạng với
3)Gọi là giao điểm của và . là giao điểm của và .Chứng minh đi qua trung điểm của .
Lời giải


1.Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp.
+) Ta có : PQ MC tại M ( gt)
+) PA AB ( t/c tiếp tuyến của đường tròn)
+) Xét tứ giác PMCA có : là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính PC ( vì tứ giác có hai góc đối có tổng bằng ).
2.Chứng minh đồng dạng .
+) Xét đường tròn đường kính PC có
+) Ta có : MQ MC tại M ( gt)
+) BA BQ ( t/c tiếp tuyến của đường tròn)
+) Xét tứ giác MQBC có : là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính QC ( vì tứ giác có 2 góc đối có tổng bằng ).


Xét và có và
đồng dạng ( g.g).
3. Gọi D là giao điểm của CP và AM, E là giao điểm của CQ và BM.
CMR: OD đi qua trung điểm của DE.
Gọi K là giao điểm của OM và DE
Ta có ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ( đồng dạng ) .
Xét tứ giác : MDCE có Tứ giác MDCE nội tiếp đường tròn đường kính DE ( vì tứ giác có 2 góc đối có tổng bằng ).

Xét đường tròn đường kính PC có ( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2)

Xét đường tròn đường kính có

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên // AB.
+) Xét và có ( chung) và ( đồng vị ).
đồng dạng ( g.g).
(4)
+ Tương tự đồng dạng ( g.g).

( 5)
Từ (4) và (5) Mà OA = OB = R hay OM đi qua trung điểm DE.
Câu 62. Từ điểm nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến với , là tiếp điểm và cát tuyến và nằm trên cung nhỏ . Gọi là trung điểm của . Gọi là giao điểm của với .
a) Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh .
c) Đường thẳng cắt tiếp tuyến lần lượt tại và qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại .Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại lần lượt tại và . Chứng minh cân và đi qua trung điểm của .
Lời giải





a) Xét có là các tiếp tuyến
Tứ giác có: Tứ giác nội tiếp
Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b) Vì là trung điểm của nên
Xét tứ giác có:
Tứ giác nội tiếp.
Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Mà bốn điểm cùng thuộc một đường tròn (ý a)
Suy ra: năm điểm cùng thuộc mộtđường tròn.
Tứ giác nội tiếp
Lại có (cùng bằng )
Suy ra:
Mặt khác hai góc này ở vị trí đồng vị
Suy ra:
c, Xét tứ giác có:
Tứ giác nội tiếp (1)
Xét tứ giác có:
Tứ giác nội tiếp (2)
Xét có:
cân tại (3)
Từ (1) (2) (3) suy ra:
Xét có:
cân tại
Gọi là giao điểm của và
Vì cân tại nên vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến
là trung điểm của
Ta có:

có nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-let ta có: (3)
có nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-let ta có: (4)
Từ (3) (4) suy ra
Mà
Suy ra: là trung điểm của
Lại có thẳng hàng
Suy ra đi qua trung điểm của
Câu 63. Từ điểm nằm ngoài đường tròn , kẻ hai tiếp tuyến , đến đường tròn tâm (, là các tiếp điểm). Qua kẻ đường thẳng nằm giữa và cắt đường tròn tại và ( nằm giữa và ). Gọi là trung điểm của . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại .
a) Chứng minh rằng năm điểm , , , , cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng và là tiếp tuyến của .
c) Đường thẳng cắt hai đường thẳng và lần lượt tại và ; đường thẳng cắt tại . Chứng minh rằngđi qua trung điểm của.
Lờigiải

a) Vìvàlà tiếp tuyến của đường trònsuy ra (1)
Do (2)

Từ (1) và (2) suy ra năm điểm, , , , cùng nằm trên đường tròn đường kính
b) Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ralà đường trung trực của BC
Xétvuông tại, đường caocó (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Màsuy ra (điều phải chứng minh)
Xétvàcó: ; chung
(g.g) (các cặp cạnh tương ứng)

Mà
Xétvàcó (cmt); chung
(c.g.c) (các cặp góc tương ứng)
Mà
Vậylà tiếp tuyến của
c)


Qua điểm kẻ đường thẳng vuông góc với , cắt tại hai điểm và .
Ta có:
Mặt khác, là một phần đường kính của đường tròn
Mà là trung điểm của
Xét có
Xét có
Từ (1) và (2) suy ra . Mà (cmt)

là trung điểm của
đi qua trung điểm của
Câu 64. Cho đường tròn . Điểm ở ngoài đường tròn sao cho . Kẻ hai tiếp tuyến , tới đường tròn (, là các tiếp điểm). Nối cắt tại , hạ tại , điểm thuộc cung nhỏ . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt , lần lượt tại , .
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: .
c) Đường tròn đường kính cắt tại , gọi là trung điểm của . Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng.
Lời giải



a) Do , là tiếp tuyến tại , của đường tròn
Nên và

Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: và là tia phân giác của
cân tại , có là phân giác là đường trung trực của
tại vuông tại và có đường cao là
c) vuông tại
là tia phân giác của ,
Mà cân là tam giác đều
Lại có:
Gọi là giao của đường tròn đường kính với
Hay
đều là trung điểm của
, , mà là trung điểm của (do là đường trung trực của ) là trung điểm của AN
vuông tại có ,
vuông tại
Gọi là giao điểm của và
(hai góc nội tiếp cùng chắn )

vuông tại
là trung điểm của trùng với
Vậy ba điểm , , thẳng hàng.

Câu 65. Cho đường tròn , đường kính . Lấy điểm C nằm trên đường tròn . Các tiếp tuyến của đường tròn tại và cắt nhau tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng . là giao điểm của và . Chứng minh rằng .
Lời giải

Gọi
Xét có:
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
Ta có , cân ở .

Mà .. (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét có .
(định lý Ta-lét)
Xét có
(định lý Ta-lét)

Mà (chứng minh trên)

là trung điểm .

Câu 66. Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm và . Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( thuộc , thuộc ). Lấy hai điểm lần lượt thuộc các đường tròn và sao cho ba điểm thẳng hàng ( nằm giữa và , ) và song song với . Gọi lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng với và với . là giao điểm của hai đường thẳng và
Chứng minh rằng:
a..
b.
Lời giải

a. Ta có (hai góc đồng vị)
Xét có là tiếp tuyến
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây chắn )
.
Xét có là tiếp tuyến.
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây chắn )
Có: (hai góc đồng vị)

Xét và có:

b. Có:
cân tại và là tia phân giác của
Ta có .
Gọi .
Ta có



là trung điểm .
Xét có (định lý Ta-lét)
Xét có (định lý Ta-lét)
Mà (chứng minh trên)
Xét có vừa là đường cao, đường trung tuyến
cân tại .
Câu 67. Cho đường tròn và dây . Trên cung lớn lấy điểm sao cho. Các đường cao và của tam giác cắt nhau tại .
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp và xác định tâm của đường tròn đó.
2) Chứng minh:
3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại điểm ( khác). Vẽ đường kính của và gọi là trung điểm của. Chứng minh là hình bình hành và 3 điểm ,, thẳng hàng.
Lời giải


1) Ta có: đường cao của tam giác

nằm trên đường tròn đường kính .
Có: đường cao của tam giác

nằm trên đường tròn đường kính
các điểm cùng thuộc đường tròn đường kính
 Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính, hay tâm đường tròn là trung điểm
2)
Xét tam giác và tam giác có :
chung
( vì tứ giác ABDF nội tiếp và là góc ngoài tại đỉnh D)

3) *) Ta có: (gt);
(do nội tiếp chắn nửa đường tròn )
(3)
Tương tự ta có: (gt)
(do nội tiếp chắn nửa đường tròn )

Mà: (cmt)
là hình bình hành/
*) Vì: là hình bình hành cắt tại trung điểm mỗi đường
Mà là trung điểm của
là trung điểm của
thẳng hàng (1)
+) Xét có góc (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

ta có:
tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính , mà cùng thuộc đường tròn này.
mà (cmt)
;; thẳng hàng (2)
Từ (1) ; (2) : ; ; thẳng hàng .


Câu 68. Từ điểm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến (, là tiếp điểm) và một cát tuyến nằm giữa hai tia và ... Gọi giao của với lần lượt là . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt , lần lượt ở và . Gọi là điểm đối xứng của qua .
a) Chứng minh: .
b) Chứng minh: tứ giác nội tiếp và .
c) Chứng minh: điểm thẳng hàng.
Lời giải

a) Ta có ( là tiếp tuyến của ), (bán kính)
Nên là trung trực của
Xét có ( là tiếp tuyến của ),
( là trung trực của )
(1)
Xét và có

chung


Từ (1) và (2) suy ra

b) Xét và có
(cmt)
chung
đồng dạng

Do đó tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Ta có cân tại O (do
mà (cmt)
Lại có tứ giác là tứ giác nội tiếp.

Nên là tia phân giác của ,mà (cmt) nên là phân giác ngoài của

c) Xét có (Hệ quả Ta lét)
Xét có (Hệ quả Ta lét)
Từ (3), (4), (5)
Gọi là giao điểm của và . Xét có
Từ (5), (6) mà
Mặt khác
Vậy thẳng hàng.


Câu 69. Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm . Kẻ đường cao của tam giác và đường kính của đường tròn . Hạ ,cùng vuông góc với .
a) Chứng minh: , là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh:
c) Chứng minh:
d) Cho cố định và điểm chuyển động trên cung lớn . Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là một điểm cố định.

Lời giải

a) Chứng minh: , là các tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác có:
(giả thiết). Mà , là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh .
là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tương tự: tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Tứ giác là tứ giác nội tiếp (cmt)
(cùng bù với )
Tứ giác nội tiếp (cmt)
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung
Xét và có:
(cmt)
(cmt)


c) Chứng minh:
Xét , đường kính có
Ta có: (tam giác vuông tại
(tam giác vuông tại
Xét có: (2 góc nội tiếp chắn cung

Mà: (cmt)
hay
d) Cho cố định và điểm chuyển động trên cung lớn . Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là một điểm cố định.
Gọi là trung điểm của
Ta thấy: tứ giác là tứ giác nội tiếp
(cùng bù với góc )
Ta thấy: tứ giác là tứ giác nội tiếp
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung
Mà: (tam giác là tam giác cân tại
hay tam giác cân tại

Chứng minh tương tự:
Hay:
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm trung điểm của đoạn thẳng cố định.

Câu 70. Cho hai đường tròn , cắt nhau tại hai điểm , . Trên tia đối của tia lấy điểm . Qua điểm kẻ các tiếp tuyến , với đường tròn (, là các tiếp điểm, nằm trong đường tròn . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là, đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là ; tiếp tuyến đường tròn tại cắt đường tròn tại điểm thứ hai là; giao điềm của các đường thẳng , là ; giao điểm của các đường thẳng , là .
a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng
c) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng .
Lời giải

a) Xét :( Góc nội tiếp cùng chắn cung)
Gọi tia AIlà tiếp tuyến đường tròn tại ,cắt tại (đối đỉnh)
Xét (góc tạo bởi tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung )
(đối đỉnh)
Từ ,,,

Vậy tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện với hai góc bằng nhau
cùng nằm trên một đường tròn.
b)Do (Cùng chắn cung )
Tứ giác nội tiếp
đồng dạng (g.g)
Tương tự có :
(g.g)
(g.g)
Mà

Từ và suy ra :
c, Kẻ ,
Có



Mà (cmt)
Do đó từ .
Mà nên là trung điểm của đoạn thẳng .

Câu 71. Cho đường tròn và điểm nằm bên ngoài đường tròn. Từ kẻ hai tiếp tuyến và cát tuyến đến đường tròn (vớilà hai tiếp điểm, , không đi qua). Gọi là trung điểm của , cắt đường tròn tại , cắt tại .
1) Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh rằng:
3) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn
4) Cát tuyến ở vị trí nào thì diện tích tam giác lớn nhất?
Lời giải

a) + Vì là hai tiếp tuyến của đường tròn (tính chất tiếp tuyến)
Xét tứ giác có (cmt)
Mà hai góc ở vị trí đối nhau
tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (1)
+ Vì là trung điểm của (đường kính và dây cung)

Xét tứ giác có (cmt)
Mà hai góc ở vị trí đối nhau
tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (2)
Từ (1) và (2) suy ra năm điểm , , , , cùng nằm trên đường tròn đường kính
bốn điểm , , , cùng nằm trên đường tròn đường kính
b) + Vì bốn điểm , , , cùng nằm trên đường tròn đường kính
tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
(tính chất)
Mà (3)

Lại có, cân tại (tính chất)
(4)
Mặt khác (hai góc kề bù) (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra
+ Xét hai tam giác và có:
chung
(cmt)
(g.g) (các cặp cạnh tương ứng)
hay
c) + Ta có: (cmt)
Mà
+ Xét hai tam giác và có:
(cmt)
chung
(c.g.c) (cặp góc tương ứng)
Mà (cm)
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn

d) + Vì năm điểm , , , , cùng nằm trên đường tròn đường kính
(góc nội tiếp cùng chắn cung )
+ Lại có, (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà (góc ở tâm chắn cung ) sđ
Mặt khác, (góc nội tiếp chắn cung )

Mà hai góc ở vị trí đồng vị
+ Vì (cmt)
Do đó ta cần tìm vị trí điểm để diện tích đạt giá trị lớn nhất.
+ Gọi là hình chiếu của lên
Do cố định nên khi
+ Xét vuông tại có (tính chất đường xiên và hình chiếu)
+ Kéo dài cắt đường tròn tại điểm là đường kính của
Mà là một dây cung của
.
Khi đó điểm trùng với điểm
Vậy khi ba điểm thẳng hàng thì diện tích tam giác lớn nhất.

Câu 72. Cho và một điểm nằm ngoài đường tròn. Qua kẻ các tiếp tuyến với ( là tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa vẽ cát tuyến của sao cho , gọi là trung điểm của , cắt tại .
1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh vuông góc với tại và
3. cắt tại hai điểm . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại . Chứng minh và là trung điểm của .
Lời giải


1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
Xét :
Có là trung điểm của dây tại ()
Vì là tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm
Xét tứ giác có:
Mà là hai góc đối diện nhau
là tứ giác nội tiếp được đường tròn đường kính
2. Chứng minh vuông góc với tại và
Gọi là giao điểm của và
Có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
(hai bán kính)
là đường trung trực của tại
Vì là trung điểm của (gt) tại ()
nội tiếp đường tròn đường kính
Xét đường tròn đường kính có :
là góc nội tiếp chắn cung , là góc nội tiếp chắn cung
mà
(hệ quả góc nội tiếp) hay

Xét và có

3. cắt tại hai điểm . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại . Chứng minh và là trung điểm của .
* Xét và có:
(cùng phụ với )
(cùng phụ với )

* Vì (vì )
Ta lại có
Xét và có

hay , Mà
Xét có:
, là trung điểm của là trung điểm của
Câu 73. Từ điểm nằm ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến , với đường tròn (, là các tiếp điểm), gọi là giao điểm của và
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Cho cm, cm. Tính bán kính và các tỉ số lượng giác của góc .
c) Vẽ đường kính , tiếp tuyến tại của cắt đường thẳng ở . Chứng minh rằng vuông góc với đường thẳng .
Lời giải


a) Do , là tiếp tuyến của nên ta có: ,
hay ,
Xét tứ giác có tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Do , ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
là đường trung trực của tại .
vuông tại có nên ta có: (cm)
(cm)
vuông tại có nên ta có:
(cm)
.
.
.
.
c) cắt tại , cắt tại

Tứ giác có Tứ giác nội tiếp.
(1)
Lại có: ; (do (g.g))


là tứ giác nội tiếp ;
Mà ;

Mà
(2)
Từ (1) và (2) hay
là tứ giác nội tiếp .
Câu 74. Cho đường tròn và điểm M ở ngoài . Qua M kẻ các tiếp tuyến với (A, B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của MA, BI cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C.
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh .
3) Chúng minh .

Lời giải.


1) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp.
Đường tròn (O; R) có : MA là tiếp tuyến, A là tiếp điểm (gt).
 MA  OA (tính chất tiếp tuyến) .
MB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm (gt).
 MB  OB (tính chất tiếp tuyến) .
Tứ giác OAMB có : .
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau.
Suy ra tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn (Dấu hiệu nhận biết) .
2) Chứng minh .
Nối A với B, A với C.
Đường tròn (O; R) có : (Tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) .
Xét và có :
(Chứng minh trên) .
là góc chung .
 (g - g)
(Tính chất 2 tam giác đồng dạng) .

3) Chứng minh
Có: I là trung điểm của MA (gt)  IA = IM
Mà (Chứng minh trên)

Xét và có :
(Chứng minh trên) .
là góc chung.
 (c -g-c)
(Tính chất 2 tam giác đồng dạng) .
.


Câu 75. Cho điểm thuộc nửa đường tròn đường kính với và . Trên nửa mặt phẳng bờ chứa điểm kẻ các tiếp tuyến , với . Tiếp tuyến tại của cắt , lần lượt tại ,.
1) Chứng minh rằng: Tứ giácnội tiếp.
2) Cho. Tính độ dài đoạn thẳng theo và số đo góc
3) Goilà giao điểm của với , là giao điểm của với và là giao điểm của với . Chứng minh : và ,, thẳng hàng
Lời giải



a) Có là hai tiếp tuyến cắt nhau của ,
Xét tứ giác có
Suy ra tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng )
b) Tam giác vuông tại

(đơn vị độ dài)
+)

( Vì là tia phân giác của (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)).
c) Do và cắt BN tại
( Hệ quả định lý Ta-let)
Mà ,(tính chất tiếp tuyến cắt nhau)


+) Xét tam giác có
(cmt)
(Định lý Ta-let đảo)
Lại có
(từ vuông góc đến song song)
+) Có là đường trung trực của
tại và là trung điểm của
+) Tương tự chứng minh: là trung điểm của
+) Tam giác có ,lần lượt là trung điểm của ,
là đường trung bình của tam giác

+) Gọi là giao điểm của và
+) Xét tam giác có

+) Xét tam giác có

+) Xét tam giác có

Từ , , suy ra
+) Tam giác có lần lượt là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác


Mà
Vậy , , thẳng hàng


Câu 76. Cho đường tròn , đường kính cố định và là một đường kính thay đổi không trùng với . Tiếp tuyến của đường tròn tại cắt các đường thẳng , lần lượt tại và .
1) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật
2) Chứng minh , tứ giác nội tiếp được đường tròn.
3) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác . Chứng minh rằng luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Lời giải

1) Tứ giác có hai đường chéo , cắt nhau tại và là trung điểm mỗi đường, nên là hình bình hành
Mà (góc nội tiếp chắn đường kính )
Suy ra là hình chữ nhật.
2) +) Trong tam giác vuông tại , đường cao , ta có:

+) Ta có: (vì vuông tại )
Ta có: mà (vì cân tại )
Suy ra
Từ và suy ra .
Ta có: (hai góc kề bù)
(vì )
Do đó tứ giác là tứ giác nội tiếp.
3) Gọi là trung điểm của .
Ta có: vuông tại và có trung tuyến

cân tại
Ta có: (SđSđ)
Tam giác vuông tại
(do và )
tại
Mà (do là đường trung trực )
Nên
Ta có: (gt), (vì là đường trung trực đoạn )

Từ và suy ra là hình bình hành
Hay luôn cách đường thẳng một khoảng là .
Vậy điểm luôn nằm trên đường thẳng cố định sao cho cách một khoảng đúng bằng .

Câu 77. Cho đường tròn tâm , điểm nằm bên ngoài đường tròn. Qua kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (là tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Tia cắt đường tròn tại hai điểm và ( nằm giữa và ) và cắt tại . Một tia nằm giữa hai tia và cắt đường tròn tại hai điểm và (nằm giữa và ). Chứng minh .
c) Tia cắt thứ tự tại . Chứng minh .
Lời giải:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Vì là các tiếp tuyến của đường tròn nên
Xét tứ giác có mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên

tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh .
Xét và có : chung; (cùng chắn cung )

(1)
Mặt khác, vuông tại có là đường cao nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra

Xét và có chung;

Suy ra (Hai góc tương ứng)
c) Chứng minh .
Xét đường tròn tâm , ta có:
(cùng chắn cung )
Mà (Cùng phụ ) nên là đường phân giác của tam giác (3)
Mặt khác, (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) là tia phân giác ngoài của (4)
Từ (3) và (4) suy ra .


Câu 78. Cho đường thẳng cố định không qua và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt Từ một điểm trên (A nằm giữa C và B) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (N cùng phía với O so với d). Gọi là trung điểm đường thẳng cắt tia tại
a) Chứng minh bốn điểm thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh
c) Đường thẳng ND cắt AB tại E. Chứng minh AD là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEN.
d) Chứng minh rằng khi C thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải


a) Ta có: trung điểm của dây (không qua ) (gt) ( quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung )
tiếp tuyến của tại N (gt) tại N 9 t/c của tiếp tuyến )
Tứ giác có
Nên tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180o)
Vậy bốn điểm thuộc một đường tròn.
b) và có: chung,
Có: ( kề bù với );

Xét và , có:
chung,
(g.g)


c) trung điểm nên là điểm chính giữa cung
Xét có: H là trung điểm của dây cung AB không đi qua tâm O, OH cắt (O) tại D là điểm chunhs giữa của cung nhỏ AB sđ sđ
(các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa, kẻ tia là tiếp tuyến của đường tròn ngoài tiếp
Khi đó có, đồng thời có và thuộc 2 mặt phẳng đối nhau bờ.
Từ đó suy ra
Vậy là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp
d) Tiếp tuyến tại và cắt nhau ở. Do A, B và (O) cố định nên suy ra cố định. Ta chứng minh I, M, N thẳng hàng.
Ta có:
Có AI là tiếp tuyến của (O) tại A (gt) là vuông tại A.
Xét vuông tại A, đường cao AH, có:
( hệ thức lượng trong tam giác vuông ).
Mà
Xét và có: () và chung
OHM ( hai góc tương ứng )
Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OC (cùng bù với).
Mà (ON = OM) và
Suy ra thẳng hàng. Do đó luôn đi qua điểm cố định.

Câu 79. Cho đường tròn, kẻ đường kính. Lấy điểm thuộc sao cho . Qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại và cắt đường tròn tại.
1. Chứng minh và
2. Lấy điểm bất kì thuộc cạnh Trên tia đối của tia lấy sao cho , chứng minh: và tứ giác nội tiếp.
3. cắt tại Chứng minh là trung điểm của
4. Tia cắt tại và tia cắt tại. Chứng minh rằng khi di chuyển trên thì luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Lời giải

1. Xét có là đường kính vuông tại
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có CH là đường cao ta có:
Xét có đều
Do đó
2.
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có tại là trung điểm của (theo mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)
có là đường cao đồng thời là đường trung tuyếncân tại
Xét và có ;
(2 góc tương ứng); (2 cạnh tương ứng)cân tại D
Xét tứ giác có mà 2 góc này ở vị trí góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện của tứ giác nên tứ giác nội tiếp (theo dấu hiệu nhận biết)
3. Xét tứ giác nội tiếp có
(cùng nhìn cạnh ND)
(cùng nhìn cạnh MD)
Ta có có (giả thiết) là trung điểm của CB (theo mối liên hệ giữa đường kính và dây cung) cân tại (do AH vừa là đường cao đồng thời là trung tuyến)
Mặt khác (cùng phụ với )
Từ ta có
Xét tứ giác có mà 2 góc ở vị trí cùng nhìn cạnh tứ giác nội tiếp
Theo tính chất của tứ giác nội tiếp ta có mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mặt khác cân tại D là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
Vậy I là trung điểm của đoạn MN
4. Ta có nội tiếp
Mà
Do đó , mà là tia phân giác
khoảng cách từ tâm O đến dây EF bằng khoảng cách từ tâm O đến dây BC và bằng .
Do đó EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính

Câu 80. Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Các đường cao , , cắt nhau tại .
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp và .
2) Tia và cắt đường tròn lần lượt tại và . Chứng minh và đối xứng với nhau qua và cân.
3) Gọi là trung điểm . Chứng minh bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
Lời giải

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp và
Xét có hay .
hay .
hay .
Xét tứ giác có
là tứ giác nội tiếp.
Xét vuông tại và vuông tại có:
chung
(g-g).


2) Tia và cắt đường tròn lần lượt tại và . Chứng minh và đối xứng với nhau qua và cân.
Xét có (2 góc nội tiếp cùng chắn ) .
Xét vuông tại có .
Xét vuông tại có .
Từ là phân giác của .

Xét có là phân giác của
tại
cân tại
đồng thời là trung trực của
đối xứng với qua .
* Chứng minh tương tự có:
(2 góc nội tiếp cùng chắn )
(cùng phụ )

là phân giác của
Xét có là phân giác của
tại
cân tại

Mà ( cân tại )

cân tại .
3) Gọi là trung điểm . Chứng minh bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
Xét vuông tại có:
+) là trung tuyến ứng với cạnh

cân tại
.
+) là góc ngoài tam giác tại đỉnh

.
Xét tứ giác có:
là tứ giác nội tiếp
(2 góc nội tiếp cùng chắn ) .
Xét tứ giác có:
Mà 2 góc này có đỉnh, kề nhau cùng nhìn cạnh dưới một góc
là tứ giác nội tiếp
(2 góc nội tiếp cùng chắn )hay .
Xét tứ giác nội tiếp có:
là tứ giác nội tiếp

(2 góc nội tiếp cùng chắn ) .
Từ
Mà
hay
Mà
.
Xét tứ giác có
là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối).
, , , cùng thuộc một đường tròn.






Câu 81. Cho đường tròn có hai đường kính và vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia lấy điểm khác điểm . Kẻ vuông góc với ( thuộc ).
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
b) cắt tại . Chứng minh là tia phân giác của góc .
c) Chứng minh:
d) Gọi giao điểm của đường tròn với đường tròn ngoại tiếp là . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Lời giải

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
Ta có tại nên .
Ta có tại nên .
Xét tứ giác có: .
Mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
b) cắt tại . Chứng minh là tia phân giác của góc .
Xét có , nên vuông cân tại nên
;
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác có: ( góc nội tiếp cùng chắn ). và ( góc nội tiếp cùng chắn );
Từ và có: .
là tia phân giác của .
c) Chứng minh:

Xét có là phân giác của ; cắt tại nên ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại có là đường cao, ta có:

Từ và suy ra .
d) Gọi giao điểm của đường tròn với đường tròn ngoại tiếp là . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Vì (chứng minh trên) nên đường tròn ngoại tiếp có đường kính là .
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
là đường kính của đường tròn nên (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
. Ba điểm , , thẳng hàng .
Có kề bù với .
Mà (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). .
Xét và có:
chung

(g.g).
mà (do cân tại ).
, kết hợp (theo )..
Mà . (c.g.c).
(hai góc tương ứng) mà (do ba điểm , , thẳng hàng).
.
Ba điểm , , thẳng hàng .
Từ và suy ra bốn điểm , , , thẳng hàng.
Ba điểm , , thẳng hàng (điều phải chứng minh).

Câu 82. Cho tam giác vuông cân tại . Đường tròn đường kính cắt tại ( khác ). Lấy điểm bất kì trên . Kẻ , lần lượt vuông góc với , .
1) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh .
3) Kẻ . Chứng minh , , thẳng hàng và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi di động trên .
Lời giải

1) Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

.
Lại có (vì ).
Xét tứ giác có
là tứ giác nội tiếp.
2) vuông cân tại có là đường cao
suy ra đồng thời là đường trung trực.
cân tại
Vì là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn )
Từ và suy ra .

3) Tứ giác có là hình vuông.
Ta có năm điểm , , , , cùng thuộc đường tròn đường kính .
là tứ giác nội tiếp.

Ta có
(góc ngoài của )
Mà
Từ và
, , thẳng hàng.
Vì là tứ giác nội tiếp
Vì , , thẳng hàng .
Gọi E là giao điểm KH và (O).
Vì là hình vuông
mà là tứ giác nội tiếp ( hai góc nội tiếp cùng chắn )
sđ cố định.
Do đó HK luôn đi qua điểm E cố định khi M di động trên AD
Câu 83. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài đường tròn .Từ kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (và là các tiếp điểm).
a) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp đường tròn.
b)Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là ; đường thẳngcắt đường tròn tại điểm thứ hai là ; đường thẳng cắttại ;là giao điểm của và .
Chứng minh: và vuông góc với .
c) Chứng minh:



a) Chứng minh: Tứ giác nội tiếp đường tròn
Ta có: (Vìlà tiếp tuyến tạicủa )
(Vìlà tiếp tuyến tạicủa )
Suy ra:
Lại có: và là hai góc đối nhau trong tứ giác nên tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
b)
+) Xét tam giác có:
(2 tiếp tuyến cắt nhau tại )

+) Xét và có:
: góc chung
( là góc nội tiếp và là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, hai góc này cùng chắn cung )
Suy ra

Từ và suy ra .
+) Ta có :
Xét và có:
: góc chung.

Suy ra ( hai góc tương ứng )
Mà ( kề bù )
( kề bù ) Suy ra
+) Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
+) Lại có:
là đường trung trực của
Từ , , suy ra (ở đây viết nhầm không phải góc DHE mà là góc DEH)

c) Chứng minh:
+) Xét vuông tại có .
+) Ta có ( vuông tại )
( vuông tại )
Mà (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung )
Lại có
(đối đỉnh)Suy ra
Xét và có:
góc chung

Suy ra
Từ ,
Chứng minh


+) Ta có:
Xét và có:
(đối đỉnh)
(cmt)
Suy ra
( Bỏ phần này vì từ DB // AH suy ra được

theo hệ quả của ĐL Ta- let cho nhanh)


Câu 84. Cho đường tròn có hai đường kính và vuông góc với nhau. Điểm thuộc cung nhỏ BD sao cho . Gọi là giao điểm của và . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt , kéo dài lần lượt tại và . Đường thẳng qua và vuông góc vớicắt tại .
a) Chứng minh: là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh là tam giác đều.
c) Chứng minh .
d) Gọi là trực tâm của . Hỏi 3 điểm có thẳng hàng không?
Lời giải:

a) Ta có: (vì )
(là tiếp tuyến của )
Xét tứ giác  :

là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh dưới hai góc bằng nhau
là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Vì vuông tại M nên . Do đó
sđ=
là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên:

có nên là tam giác cân có một góc bằng
là tam giác đều.

c) Vì là tứ giác nội tiếp nên ta có:
(góc ngoài tại đỉnh bằng góc trong đối diện đỉnh đó).
Mà (đều)
.
Hai góc ở vị trí đồng vị

Lại có: (cùng vuông góc với )
Từ và suy ra tứ giác là hình bình hành
(đpcm)
c) Gọi là chân đường cao kẻ từ đến khi đó .
Giả sử thẳng hàng thì hay .
Suy ra .
Có (cmt) nên (đồng vị)
Do đó là tam giác đều (vì ).
là đường cao của
Suy ra là trung tuyến là trung điểm của .
Xét có ; là trung điểm của nên là trung điểm của
hay (vô lí).
Vậy không thẳng hàng.

Câu 85. Cho nửa đường tròn đường kính . Trên nửa đường tròn lấy điểm bất kì( khác và ; ). Kẻ là tiếp tuyến tại của nửa đường tròn . Qua kẻ đường thẳng vuông góc với tại . Tia cắt tại . Đoạn thẳng cắt tại điểm thứ hai là
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
2) Kẻ vuông góc với tại . Gọi là giao điểm của và . Đường thẳng cắt tại . Chứng minh và vuông góc với .
3) Đường thẳng cắt tại . Tiếp tuyến tại của nửa đường tròn cắt đường thẳng tại . Chứng minh khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến không đổi.
Lời giải

1)
Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Và tại nên
, suy ra hai đỉnh và cùng nhìn cạnh dưới một góc .
Vậy tứ giác nội tiếp.
2)
* Chứng minh
Cách 1 
Ta có tại nên là trung điểm của
Suy ra là đường trung trực của , hay là đường trung trực của

cân tại
Ta lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(vuông tại )
Từ , và suy ra cân tại
Từ và suy ra
Cách 2
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà (giả thiết) nên suy ra

Xét có

Xét vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Từ và suy ra .
* Chứng minh vuông góc với .
Ta có : (giả thiết)
(do là tiếp tuyến tại của nửa )

Xét có suy ra
Xét có suy ra
Từ và suy ra
Mà (chứng minh trên) nên
Xét có
Mà nên (điều phải chứng minh).
3)
Chứng minh khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đến không đổi..
Gọi là trung điểm của .
Xét và có:
(chứng minh trên)
: cạnh chung

(c – c – c)
(hai góc tương ứng)
Mà nên
hay tại
là tiếp tuyến của nửa tại .
Mà là tiếp tuyến của nửa tại nên (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
cân tại .
Vì (chứng minh trên) nên
Xét có là trung điểm của .

cân tại có là đường trung tuyến nên cũng là đường cao.

hay
Ta lại có:
Mà (cùng chắn )
Từ , và
Mặt khác: (hai góc đồng vị)
(chứng minh trên) (hai góc so le trong)
Từ , và suy ra tứ giác nội tiếp.
Gọi là giao điểm của và
Xét có
Xét có
Từ và
Mà nên là trung điểm của .
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp .
tứ giác nội tiếp
cân tại là đường trung tuyến cũng là đường cao .
(là khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến )
Mà nên
Và cân tại là đường trung tuyến cũng là đường cao
Ta lại có tứ giác là hình thang.
Xét hình thang có là đường trung bình của hình thang
, mà (chứng minh trên) nên hay
Từ và
Từ và suy ra tứ giác là hình bình hành
Xét có
Suy ra (không đổi)

Câu 86. Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn , tia phân giác cắt tại, cắt tại. Vẽ vuông góc với tại và vuông góc với tại .
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh .
3) Chứng minh

1) Có (gt)
(gt)
Xét tứ giác có:

Mà hai góc này ở vị trí đối diện
tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
b)
Xét có (hai góc nội tiếp cùng chắn )
Xét và có
( vì AD là phân giác của )
(cmt)
(g-g)
(cạnh tương ứng tỉ lệ)
.
c) Kẻ tại .
Vì tứ giác nội tiếp (câu a)(2 góc nội tiếp cùng chắn)

Xét và có

(cmt)
(g-g)
(cạnh tương ứng tỉ lệ)


Xét có (cách vẽ): (tỉ số lượng giác)
.

Câu 87. Cho đường tròn và điểmcố định nằm ngoài đường tròn. Qua kẻ hai tiếp tuyến tới đường tròn (, là các tiếp điểm). Một đường thẳng qua cắt đường tròn tại và (). Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua , song song với cắt tại .
a) Chứng minh 5 điểm , , , , thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh .
c) Chứng minh .
d) Chứng minh rằng khi đường thẳng quay quanh điểm thì trọng tâm của tam giác thuộc một đường tròn cố định.
Lời giải

a) Ta có: hai tiếp tuyến tới đường tròn (, là các tiếp điểm).

Xét đường tròn có: và BC là dây không đi qua tâm.
Suy ra (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
Do đó .
Vậy , , , , thuộc một đường tròn có đường kính .
b) Xét và có:
chung

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn của đường
tròn )
Nên đồng dạng với (g – g).
Suy ra: .

Ta có: hai tiếp tuyến tới đường tròn (, là các tiếp điểm)
(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó: .
Vậy .
c) Ta có: , , , , thuộc một đường tròn

Mà (vì )
Suy ra
Nên tứ giác nội tiếp.

Hơn nữa (cùng chắn cung của đường tròn )
Do đó .
Vậy .
d) Gọi là trọng tâm của , là trung điểm của .
Vẽ ().
Khi đó: cố định và .
Vì là trung điểm của và , , , , thuộc một đường tròn có đường kính
Nên .
Suy ra: ; .
Vì và cố định nên cố định.
Hơn nữa không đổi nên .

Câu 88. Cho đường tròn và điểm nằm ngoài . Kẻ hai tiếp tuyến và với đường tròn (, là tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua cắt ở và ( nằm giữa và , và nằm khác phía đối với ), giao với ở.
1. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh rằng .
3. Chứng minh rằng
4. Từ và kẻ hai tiếp tuyến với chúng cắt nhau tại.Chứng minh rằng thuộc một đường thẳng cố định khi quay quanh.
Lời giải:



1. Xét tứ giáccó:
là tiếp tuyến của tại ( tính chất của tiếp tuyến)
là tiếp tuyến của tại ( tính chất của tiếp tuyến)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
Tứ giácnội tiếp ( dấu hiệu nhận biết ).
2. Ta có: , là tiếp tuyến của ( định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau)
thuộc trung trực của

thuộc trung trực của

Từ và là trung trực của
( t