Câu 1. Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ kẻ hai tiếp tuyến , (, là các tiếp tuyến). là điểm di động trên đoạn . Đường thẳng cắt tại và ( nằm giữa và ), cắt đường thẳng tại . Gọi là trung điểm .
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh : .
3) Khi
a) Tính tỉ số
b) Đường thẳng cắt tại . Tìm vị trí của điểm để diện tích tam giác lớn nhất.
Lời giải

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có tứ giác nội tiếp (đpcm).
2) Chứng minh : .
Ta có (g – g)
(g – g)
Từ và suy ra (đpcm).


3) Khi
Ta có
vuông cân tại I vuông cân tại A
Tứ giác là hình vuông có cạnh .
Ta có
Lại có (g – g)

(c – g – c) .

Kẻ vuông cân tại K
Xét có : ( do )
Xét có : ( do )
Từ và ta có tứ giác AIOE nội tiếp

khi là đường trung bình của tam giác là trung điểm của .

Câu 2. Cho đường tròn và điểm cố định nằm ngoài đường tròn . Kẻ hai tiếp tuyến và của đường tròn ( là tiếp điểm). Đường thẳng bất kỳ qua cắt đường tròn tại và (và không thẳng hàng). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .
1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh
3) Tia cắt đường tròn tại . Chứng minh tứ giác là hình thang cân và xác
định vị trí của cát tuyến để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: nên thuộc đường tròn đường kính SO.
Ta có: nên thuộc đường tròn đường kính SO.
Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2) Vì Gọi là trung điểm của đoạn thẳng nên (tính chất đường kính và dây cung)
nên thuộc đường tròn đường kính SO.
Vậy 4 điểm thuộc đường tròn đường kính SO.

Mà (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó
3) Ta có: (Tính chất góc nội tiếp)
Mà (cmt)
Nên mà 2 góc ở vị trí đồng vị
Nên (1)
Ta có: (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
(2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Mà
(2)
Từ (1) và (2) nên tứ giác là hình thang cân .
Ta có (cùng đáy SD và cùng chiều cao).
Kẻ tạ .
Có
Mà
thẳng hàng.
Diện tích tam giác lớn nhất khi vẽ cát tuyến sao cho thẳng hàng.



Câu 3. Cho và điểm cố định bên ngoài. Qua, kẻ đường thẳng cắt tại . Gọi là trung điểm của. Kẻ tiếp tuyến tới , (là 2 tiếp điểm và thuộc cung lớn).
a) Chứng minh: .
b) Gọi là giao điểm và. Chứng minh và tứ giác là tứ giác nội tiếp.
c) Kẻ tiếp tuyến tại cắt nhau tại. Chứng minh là phân giác của góc và thẳng hàng.
Lời giải



a) Xét ta có:
(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1)
Lại có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn )
Từ và suy ra: .
b) * Xét và ta có:

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
Suy ra

(đpcm)
* Xét ta có: (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)
(bán kính của )
Do đó: là đường trung trực của .(tại )
Xét và ta có:
Suy ra
Từ và suy ra:
Xét và ta có:
Suy ra (hai góc tương ứng)
Tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối)
c) Ta có: (góc nội tiếp chắn )
Xét ta có: (bán kính của )
cân tại
Lại có:
Từ suy ra:
Lại có: và
Từ suy ra: là tia phân giác của .
* Xét tứ giác ta có: (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Tứ giác nội tiếp
Từ ta có 5 điểm cùng thuộc đường tròn đường kính

Lại có: (là đường trung trực của , )
Từ ta có: thẳng hàng.

Câu 4 . Cho đường tròn bán kính , đường thẳng không qua và cắt đường tròn tại hai
điểm . Từ một điểm trên (nằm giữa và ), vẽ tiếp tuyến với đường tròn (là
tiếp điểm; thuộc cung lớn). Gọi là trung điểm đoạn .
a) Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh .
c) Gọi là hình chiếu của điểm trên . Chứng minh . Tia cắt đường tròn tại hai điểm và ( nằm giữa ). Chứng minh .
Lời giải

a) Vì là TĐ của nên đường tròn đường kính
Vì là tiếp tuyến của đường tròn,là tiếp điểm nên đường tròn đường kính .
Do đó thuộc đường tròn đường kính hay bốn điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính (ĐPCM) , suy ra tứ giác nội tiếp.
b) Ta có ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung); chung nên .
c) +) vuông tại , đường cao , áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có
Ta lại có ( cmt)
Do đó ,
Suy ra (1)
Vì ( bán kính) nên cân tại (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra (đpcm)

+) Chứng minh tương tự ta có (3)
Mà ( góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn );là tia phân giác của
Mà là hai góc kề bù là tia phân giác của
Xét có lần lượt là đường phân giác trong và phân giác ngoài tại đỉnh
(đpcm)

Câu 5. Cho đường tròn , đường kính . Lấy bất kì trên đường tròn sao cho, kẻ dây cung vuông góc với đường kính tại. Gọi là điểm chính giữa của cung nhỏ. Tia cắt tia tại .
1) Chứng minh và tam giác cân.
2) Qua kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt tia tại. Chứng minh tứ giác nội tiếp.
3) Gọi là giao điểm của và . Kẻ vuông góc với tại . Chứng minh 3 điểm, , thẳng hàng.
4) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác theo biết.
Lời giải

1) Xét có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà và là 2 góc kề bù
Chướng minh tương tự .
Xét và có:
chung
(cmt)
Suy ra (g – g)
(đpcm).
là điểm chính giữa .
Xét (chắn hai cung bằng nhau)

Xét có: là đường cao.
..(cmt).. là phân giác .
cân tại .
2) Xét có là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
là góc nội tiếp chắn
Mà hay .
Xét tứ giác có ; , là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn
nội tiếp (dhnb).
3) Xét tứ giác có
tứ giác nội tiếp
Chứng minh: hay
Mà: (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Từ , hay
, cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ
Tia trùng nhau , , thẳng hàng.
4) Ta có: tứ giác nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp là đường tròn ngoại tiếp tứ giác có đường kính là .
Xét có .
Xét có
Bán kính đường tròn ngoại tiếp là .
Diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác là (đvdt).

Bài 6 . Từ điêm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến là các tiếp điểm).Vẽ cát tuyến của đường tròn sao cho B nằm giữa A và C.Tia nằm giữa hai tia .Từ O kẻ tại I.
a) Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên đường tròn.
b) Chứng minh IA là tia phân giác của và
c) Gọi K và F lần lượt là giao điểm của với và .Qua D vẽ đường thẳng song song với cắt và lần lượt tại H và P.Chứng minh D là trung điểm của
Lời giải
a) Ta có (tính chất đường kính dây cung)
+)
Mà các góc cùng nhìn cạnh dưới góc
Suy ra 5 điểm cùng nằm trên đường tròn.

b) Ta có:(góc nội tiếp)
(góc nội tiếp)
Mà
hay IA là tia phân giác của
+) xét và có:
chung


.
c) Ta có



Mà



Bài 7 . Cho đường tròn , vẽ dây cố định không đi qua tâm . Lấy điểm bất kì thuộc tia đối của tia . Kẻ hai tiếp tuyến với , ( là các tiếp điểm, thuộc cung nhỏ ). Gọi là trung điểm của .
1) Chứng minh điểm cùng thuộc một đường tròn.
2) Phân giác của góc cắt tại . Chứng minh cân và .
3) Gọi là trung điểm của . Kẻ . Giả sử góc bằng . Chứng minh rằng điểm di động trên tia đối của tia thì luôn thuộc một đường tròn cố định và tính bán trình của đường tròn này theo .
Lời giải

1) Chứng minh điểm cùng thuộc một đường tròn.
Do là trung điểm của nên (tính chất đường kính và dây cung).
Mặt khác, (Tính chất tiếp tuyến).
Do vậy suy ra cùng nhìn dưới 1 góc bằng nên điểm cùng thuộc một đường tròn đường kính .
2) Phân giác của góc cắt tại . Chứng minh cân và .
Ta có (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung ).
Khi đó (Góc ngoài của tam giác ).
( chưa tương ứng với hình vẽ)
Vậy tam giác cân tại .
Xét và có:
chung

(Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung )
(g – g) suy ra (1)
Xét và có :
chung
(Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung )
Ta được (g – g) suy ra (2)
Mặt khác, vì và là tiếp tuyến với đường tròn nên (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra .
3) Gọi là trung điểm của . Kẻ . Giả sử góc bằng . Chứng minh rằng điểm di động trên tia đối của tia thì luôn thuộc một đường tròn cố định và tính bán kính của đường tròn này theo .
Gọi là bán kính của đường tròn tâm . Vì cố định nên cố định.
Gọi là trung điểm của . Vì cố định nên cố định.
Ta có .
Mặt khác, nên .
Ta lại có suy ra thẳng hàng.
nên nội tiếp đường tròn đường kính .
Vì cố định nên trung điểm của cố định hay đường tròn tâm bán kính cố định.
Vậy điểm di động trên tia đối của tia thì luôn thuộc một đường tròn cố định tâm bán kính .
Xét tam giác vuông tại có .
.
.
Suy ra .
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông tại có ta có
.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông tại có ta có
.

Bài 8 . Cho Cho đường tròn từ điểm nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn (lần lượt là các tiếp điểm).
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
2) Gọi là trung điểm của , cắt đường tròn tại , đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai . Chứng minh
3) Gọi là giao điểm của với . Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp và
Lời giải

3) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì là phân giác của tam giác và Nên cũng là phân giác của tam giác
Vậy là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Xét đường tròn có (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EC)
Xét và có chung và (cmt)

Mà
Xét và có chung và (cmt)
Mà
Lại có hai góc này ở vị trí so le trong (so le trong)
Mà (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)
cân tại

Bài 9 . Cho đường tròn , là đường kính. là điểm bất kì thuộc đường tròn sao ch
( khác với và ). Trên tia đối tia lấy điểm ( khác ), qua kẻ đường
thẳng vuông góc với , cắt tiếp tuyến tại ở . cắt đường tròn tại điểm thứ hai là
. Đường thẳng cắt đường thẳng ở .
1) Chứng minh: là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: .
3) Tia cắt đường thẳng tại , đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tia tại điểm thứ hai là . Chứng minh: là trung điểm của và là trung trực .
Lời giải

1) Chứng minh : là tứ giác nội tiếp.
Đường tròn có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính nên
Mà cắt tại nên
Đường thẳng vuông góc với tại nên
Xét tứ giác có:

Mà và ở vị trí đối nhau
Vậy là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: .
là tứ giác nội tiếp nên

Mà ( hai góc kề bù)
Suy ra
Đường tròn có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Từ và suy ra
Xét và , ta có:
chung
( do )
Suy ra (g – g).
Khi đó: ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Suy ra: ( đpcm).
3) Chứng minh: là trung điểm của và là trung trực .
Vì là tiếp tuyến của đường tròn nên
Mà ( cùng phụ với )
Suy ra
cân tại

Ta có: ( vuông tại )

( chứng minh trên)
Suy ra
cân tại

Từ và suy ra , mà
Suy ra là trung điểm của (Đpcm).
Gọi là giao điểm của và
Xét có:
( gt)
( )
Suy ra là trực tâm của .

( đường cao thứ 3 của )
Lại có: ( là góc nội tiếp đường tròn đường kính )
Từ và suy ra 3 điểm , , thẳng hàng.
Ta có: ( cùng phụ với )
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Suy ra
Ta có: ( cùng phụ với )
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Suy ra
Xét và có :
là cạnh chung
(do )
(do )
Suy ra (g – c – g ).
Do đó ; ( cặp cạnh tương ứng bằng nhau)
Vậy là trung trực của .

Bài 10. Cho tam giác có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn và. Các đường cao và cắt nhau tại . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và. Đường thẳng cắt đường tròn tại ( khác).
1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh và tam giác đồng dạng với tam giác
3. Gọi là trung điểm của. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Lời giải



1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Vì suy ra
Điểm nhìn cạnh dưới một góc không đổi bằng
Điểm thuộc đường tròn đường kính ( bài toán quỹ tích ). (1)
Vì suy ra
Điểm nhìn cạnh dưới một góc không đổi bằng
Điểm thuộc đường tròn đường kính ( bài toán quỹ tích ). (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính ( dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).
2. Chứng minh và tam giác đồng dạng với tam giác.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác có
( hai góc nội tiếp cùng chắn .
Xét và có
( cmt )
chung
( g – g )
( định nghĩa hai tam giác đồng dạng )
. (3)
Xét đường tròn có
( hai góc nội tiếp cùng chắn .
Xét và có
( cmt )
chung
( g – g )
( định nghĩa hai tam giác đồng dạng )
. (4)
Từ (3) và (4)

Xét và có
( cmt )
chung
( c – g – c )
3. Gọi là trung điểm của. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Gọi là giao điểm của với đường tròn
Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
( hệ quả góc nội tiếp )

Mà ( gt )
Suy ra ( quan hệ từ vuông góc đến song song ) hay .
Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
( hệ quả góc nội tiếp )

Mà ( gt )
Suy ra ( quan hệ từ vuông góc đến song song ) hay .
Xét tứ giác có :
( cmt )
( cmt )
Suy ra tứ giác là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành )
Mà là trung điểm của đường chéo ( gt )
cũng là trung điểm của đường chéo ( tính chất hình bình hành )
thẳng hàng. (5)
Vì ( cmt )
( định nghĩa hai tam giác đồng dạng )
Tứ giác nội tiếp ( dấu hiệu góc trong bằng góc ngoài ở vị trí đối ). (6)
Xét tứ giác có:

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính ( ĐL đảo của tứ giác nội tiếp ). (7)
Từ (6) và (7) suy ra 5 điểm cùng thuộc đường tròn đường kính
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
(8)
Mà ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
(9)
Từ (8) và (9) suy ra 3 điểm thẳng hàng (10)
Từ (5) và (10) suy ra 3 điểm thẳng hàng ( đpcm ).


Bài 11. Cho nửa đường tròn tâm đường kính . Trên nửa đường tròn lấy điểm sao cho . Vẽ các tiếp tuyến ( và cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ có chứa điểm ). Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt lần lượt tại và .
1) Chứng minh tứ giác là nội tiếp.
2) cắt đường tròn tại ( khác ). Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại . Chứng minh : là tiếp tuyến của đường tròn .
3) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh và đường trung trực của đoạn thẳng đi qua điểm .
Lời giải

1) là tiếp tuyến của tại .
là tiếp tuyến của tại .
Tứ giác là nội tiếp.
2) Ta có cân tại .
Xét và :
(cmt)
(cmt)
: cạnh chung

( 2 góc tương ứng)
.
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn .

3) Ta có: ( vì cùng bằng nửa số đo )
Xét và :
(cmt)
( 2 góc đối đỉnh)

.
Ta lại có đều .
( góc ở tâm và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn )
.
cân tại .

Mặt khác, 4 điểm cùng thuộc một đường tròn đường kính
( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
4 điểm cùng thuộc một đường tròn đường kính .
Tứ giác nội tiếp.
Tứ giác có Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
.
đều
Từ và là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
thuộc đường trung trực của đoạn thẳng .




Bài 12. Cho tam giác nhọn có các đường cao , , cắt nhau tại .
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.
2) Trên cung nhỏ của, lấy điểm sao cho , cắt tại. Chứng minh
3) Gọi M là giao điểm của với. Chứng minh song song.
4) Đường thẳng cắt tại , cắt tại (khác), cắt tại . Chứng minh ,, thẳng hàng.
Lời giải


1) Chứng minh tứ giác nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.
Xét tứ giác có
tứ giác là tứ giác nội tiếp (vì có tổng 2 góc đối bằng )
Gọi là trung điểm của. Xét hai tam giác vuông và có là cạnh huyền
Áp dụng định lý đường trung tuyến
Vây là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác .
2) Chứng minh
Xét tam giác và có:
(đối đỉnh)

( cùng chắn cung CI)
(g - g)

3) Chứng minh song song .
Tứ giác có:
Tứ giác ( vì có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đường thẳng nối 2 cạnh còn lại dưới một góc không đổi)
mà ( do cùng bằng )

Tứ giác có:
Tứ giác nội tiếp ( vì có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đường thẳng nối 2 cạnh còn lại dưới một góc không đổi)

Mà
Tứ giác nội tiếp
Từ và
Mà hai góc này ở vị trí so le trong .
4) Chứng minh ,, thẳng hàng.
Ta có : hay
Xét và có :
(cmt)
( đối đỉnh)
(g – g),
Xét và có:

( hai góc nội tiếp cùng chắn cung)
(g – g),
Từ và

Xét và có:
( chứng minh trên)
( đối đỉnh)
(c – g – c)
Ta lại có
( cùng phụ )
Từ và ,, thẳng hàng.


Bài 13. Cho đường tròn và một điểm cố định nằm ngoài đường tròn sao cho . Từ kẻ hai tiếp tuyến , với đường tròn (, là hai tiếp điểm). Một đường thẳng thay đổi đi qua luôn cắt đường tròn tại hai điểm và ( thuộc cung nhỏ và cung lớn hơn cung ). Gọi là trung điểm của , là giao điểm của và .
1) Chứng minh năm điểm , , , , cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh .
3) Chứng minh là tia phân giác của .
4) Gọi là trọng tâm . Chứng minh khi đường thẳng thay đổi thì luôn chạy trên một đường tròn cố định.
Lời giải

1) Chứng minh năm điểm , , , , cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: là tiếp tuyến tại của đường tròn nên: .
Suy ra: điểm thuộc đường tròn đường kính .
Tương tự, ta có: nên điểm thuộc đường tròn đường kính .
Vi là trung điểm của dây cung nên (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm.
điểm thuộc đường tròn đường kính .
Vậy, năm điểm , , , , cùng thuộc đường tròn đường kính (đpcm).
2) Chứng minh .
Ta có: , là hai tiếp tuyến cắt nhau tại của đường tròn nên:
và (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra: là đường trung trực của đoạn thẳng .
Do đó: .
là đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông .
Suy ra: . (1)
- Xét và có:
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn );
chung.
Do đó: (g –g).
Suy ra: hay: . (2)
Áp dụng định lý Py – ta –go vào tam giác vuông , ta có:
. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: (đpcm).
3) Chứng minh là tia phân giác của .
Ta có: (chứng minh trên) nên: .
Suy ra: (cạnh – góc – cạnh).
(hai góc tương ứng). (4)
Mà (hai góc kề bù).
Do đó: .
Suy ra: Tứ giác là tứ giác nội tiếp.
(cùng chắn của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ). (5)
Lại có: cân tại (vì ).
Suy ra: (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra: .
Mà: ;
.
Suy ra: .
Do đó, là tia phân giác của (đpcm).
4) Gọi là trọng tâm . Chứng minh khi đường thẳng thay đổi thì luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Ta có: là trọng tâm nên: .
Gọi là giao điểm của đoạn với đường tròn .
Do nên là trung điểm của đoạn thẳng .
là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông nên: .
Tương tự, ta có: .
Từ kẻ đường thẳng song song với và cắt tại N.
Khi đó, ta có: (hệ quả định lí Ta – lét).
Do đó, , và không đổi.
Vì cố định nên điểm cố định.
Do đó, điểm cố định.
Suy ra: điểm luôn cách điểm cố định một khoảng bằng không đổi, nên điểm thuộc đường tròn tâm bán kính .


Bài 14. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và AH là đường cao của tam giác ABC . Gọi M , N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh
c) Chứng minh OA vuông góc với MN
d) Cho biết AH = R . Chứng minh M , O , N thẳng hàng
Lời giải

a) Xét tứ giác có:



Mà là hai gốc đối diện trong tứ giác
Vậy tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
b) Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
Suy ra
Mà ( vì cùng bằng )
Suy ra .
c) Cách 1: Từ kẻ tiếp tuyến với
Ta có : mà



Cách 2:
Kẻ đường kính

Và
Mà

d)

Tam giác vuông tại và

Suy ra (c.g.c)
(1)
Ta lại có

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
Suy ra thẳng hàng.




Bài 15. Cho nửa đường tròn tâm đường kính và điểm bất kì trên nửa đường tròn (). Trên nửa đường tròn bờ chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến . Tia cắt tại tia phân giác cắt nửa đường tròn tại cắt tia tại , tia cắt tại , cắt tại
a. Chứng minh rằng là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh rằng là tam giác cân
c. Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi
d. Xác định vị trí của để tứ giác nội tiếp một đường tròn
Lời giải


a. Ta có là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Xét tứ giác có hai góc là hai góc đối nhau
và hai góc đều vuông nên .
Vậy tứ giác là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b. Ta có là phân giác
mà ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và
dây cung)
(góc nội tiếp)
nên là điểm chính giữa cung
Ta có:


Vậy tam giác cân tại
c. Xét tam giác có vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên cân tại .


Xét tam giác cân có nên là trung điểm của
Xét tứ giác có là trung điểm của nên là hình bình hành mà nên là hình thoi.
d.

Để là tứ giác nội tiếp thì mà ( vì là hình thoi)
Suy ra là hình thang cân.
Ta có: ;
Mà
Có
Vậy là điểm chính giữa cung

Bài 16. Cho đường tròn Điểm ở ngoài đường tròn Qua kẻ một cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm và ( nằm giữa và). Kẻ đường kính vuông góc với tại ( thuộc cung nhỏ). Tia cắt đường tròn tại điểm thứ hai, các dây và cắt nhau tại.
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh
3) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp .
4) Cho 3 điểm cố định. Chứng minh rằng khi đường tròn thay đổi nhưng vẫn đi qua thì đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải

1) Xét tứ giác có: mà chúng nằm ở vị trí đối nhau
là tứ giác nội tiếp (dhnb)
2) Xét tam giác và có:
chung
( chắn hai cung bằng nhau và )
Suy ra
(đpcm)
3) Theo ý 2 ta có:
Giả sử từ kẻ 1 tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
Từ trùng với đường

là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm
4) Ta có: Tứ giác nội tiếp
Lại có: Tứ giác nội tiếp

Vì cố định nên cố định
Mà nên luôn đi qua điểm cố định.
Bài 17. Cho đường tròn tâm và điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ lấy một điểm , từ lần lượt kẻ các đường vuông góc , , xuống , , (). Gọi lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng và , và .
1) Hãy chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh .
3) Chứng minh vuông góc với và tìm vị trí điểm để đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
1) Theo giả thiết ta có tại và tại .
Suy ra và.
Khi đó tứ giác có hai góc đối bù nhau.
Do đó tứ giác là tứ giác nội tiếp.
2) Trong tứ giác nội tiếp có hai góc và cùng nhìn cạnh .
Suy ra (1)
Tương tự câu 1) ta chứng minh được tứ giác nội tiếp.
Vì cùng nhìn cạnh suy ra (2)
Xét (O): ta có là góc nội tiếp chắn cung ,
là góc tạo bởi tiếp tuyến
và dây cung nên (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra (*)
Mặt khác, vì và là các tứ giác nội tiếp
nên ta có (4)
Do là hai tiếp tuyến của đường tròn kẻ
từ điểm nên hay cân tại .
Suy ra hay (5)
Từ (4) và (5) suy ra (**).


Từ (*) và (**) ta có . Suy ra .
Vậy .
3) Ta có .
Vì là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và là góc nội tiếp chắn cung nên . Tương tự ta có .
Suy ra .
Do đó tứ giác nội tiếp.
Vì tứ giác nội tiếp nên ta có . Suy ra song song với hay .
Ta có . Suy ra lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. Hay là điểm chính giữa cung .
Bài 18. Cho đường tròn có dây cố định không đi qua , điểm thay đổi trên cung lớn sao cho tam giác là tam giác nhọn. Kẻ vuông góc tại , vuông góc tại . cắt tại .
1) Chứng minh: Tứ giác là tứ giác nội tiếp.
2) Giả sử . Tính số đo góc và chứng minh .
3) Tia cắt đường tròn tại điểm . Đường thẳng cắt đường thẳng tại điểm . Chứng minh: Đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi thay đổi trên cung lớn .
Lời giải

1) Xét tứ giác có (gt)
mà hai góc này cùng nhìn cạnh dưới một góc .
Vậy tứ giác là tứ giác nột tiếp (dhnb)
2) Kẻ mà cân tại . Nên ta có


Xét ta giác vuông tại N ta có:

Suy ra , mà tam giác nội tiếp đường tròn nên (tc góc nội tiếp)
Xét tứ giác có suy ra tứ giác nội tiếp
Ta gọi ta có và ( đối đỉnh)
Suy ra .
3) Ta có: tứ giác là tứ giác nội tiếp ( cùng chắn cung )
tứ giác là tứ giác nội tiếp ( cùng chắn cung )
tứ giác là tứ giác nội tiếp ( cùng chắn cung )

Kéo dài
Xét tứ giác có cùng nhìn cạnh suy ra tứ giác nội tiếp
tứ giác là tứ giác nội tiếp ( cùng chắn cung )
Suy ra
Có tam giác
Suy ra mà
Vậy đường tròn tiếp xúc với đường thẳng cố định khi thay đổi trên cung lớn .

Bài 19. Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm . Các đường cao , và cắt nhau tại .
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp được một đường tròn.
2) Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tại . Chứng minh .
3) Khi di chuyển trên cung , chứng minh , từ đó suy ra vị trí của điểm để diện tích là lớn nhất.
Lời giải


1) Xét tứ giác có
Suy ra là tứ giác nội tiếp, hay tứ giác nội tiếp được một đường tròn.
2) Xét tam giác vuông tại có là đường trung tuyến, suy ra
Lại có
Suy ra
Xét và có
(chứng minh trên)
: chung
Suy ra (g – g)
Suy ra .
3)

Xét tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp.

Suy ra (tính chất)
Xét và có:
: chung
(chứng minh trên)
Suy ra (g – g)
Suy ra
Lại xét vuông tại có
Do đó .
Cũng do nên không đổi
Do đó lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Mặt khác có cố định nên lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất
Lại có
Vậy nên lớn nhất khi hay khi nằm chính giữa cung .
Vậy lớn nhất khi nằm chính giữa cung .


Bài 20. Cho đường tròn đường kính AB. Gọi E và D lần lượt là hai điểm thuộc cung AB của đường tròn sao cho E thuộc cung AD; AE cắt BD tại C; AD cắt BE tại H; CH cắt AB tại F.
1) Chứng minh tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh: AE.AC = AF.AB. Trên tia đối của tia FD lấy điểm Q sao cho FQ = FE. Tính góc AQB.
3) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường thẳng DE.
Chứng minh: MN = FE + FD.

Lời giải:


1) Xét (O) có:cùng chắn đoạn thẳng AB
AB là đường kính
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác CDHE có:


và là hai góc đối nhau
tứ giác CDHE là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận iết tứ giác nội tiếp).
2) Xét có: , AD và BE là hai đường cao H là trực tâm của
CH là đường cao
Xét và có:
.
Tứ giác nội tiếp nên .
Tứ giác nội tiếp nên .
Từ đó suy ra . Mà nên .
Suy ra (c.g.c).
Suy ra , mà nên là đường trung trực của hay là đường trung trực của .
Lại có thuộc đường tròn đường kính nên cũng thuộc đường tròn đường kính .
Suy ra .
3) Gọi là giao điểm của và đường tròn. Ta có tứ giác là hình chữ nhật nên . Suy ra là hình thang, mà nội tiệp đường tròn nên nó là hình thang cân, suy ra .
Suy ra
Mà nên . Suy ra .
là hình thang nội tiếp đường tròn nên là hình thang cân.
Suy ra mà
Do tứ giác là hình chữ nhật. Suy ra ,
Mà nên ta có .

Bài 21. Cho đường tròn đường kính cố định .Gọi là điểm bất kỳ thuộc đoạn (khác và . Vẽ dây vuông góc với tại . Gọi là điểm bất kỳ thuộc . Nối cắt tại điểm thứ hai là ,tia cắt tại .
1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
2) Kẻ là tia đối của tia .Chứng minh rằng và .
3) Tìm vị trí của trên đoạn để chu vi lớn nhất .
Lời giải




1) Ta có tứ giác nội tiếp .
Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn .
2) Từ là điểm chính giữa của cung ta được .
.
Mà ( đối đỉnh ) nên .
Xét có và lần lượt là phân giác trong phân giác ngoài nên ( tính chất phân giác ).
Suy ra hay .
3) .
Vậy .

Bài 22. Cho đường tròn tâm đường kính . Gọi là trung điểm của , qua kẻ dây vuông góc với tại . Gọi là điểm tùy ý trên cung nhỏ , là giao điểm của và .
a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh .
c) Trên lấy điểm I sao cho . Chứng minh .
Lời giải
a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
xét tứ giác có .
suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) xét và có
chung

Suy ra (g-g)
c) Gọi
vì C là trung điểm của và nên là hình bình hành.
đều (1)
Ta có
(2)
Tương tự (3)
Từ (1), (2) và (3)
. Mà

Bài 23. Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Vẽ đường cao , cắt nhau tại . Các đường thẳng , lần lượt cắt tại và (khác và khác ). Tiếp tuyến tại và cắt lần lượt tại , .
1) Chứng minh bốn điểm , , , thuộc một đường tròn.
2) Đường thẳng cắt tại điểm thứ hai là . Chứng minh: cân
3) Chứng minh
4) Chứng minh: và , , thẳng hàng.
Lời giải

1) Vì , là đường cao
Mà , là hai đỉnh kề nhau nên tứ giácnội tiếp.
2) +) Chứng minh: cân và
Vì tứ giácnội tiếp ( cmt) nên , mà ( đối đỉnh)
Nên (1)
Ta lại có (2)
Từ (1), (2) ta suy ra cân tại .
+) Ta có nên
Suy ra .
Vì nên
3) Chứng minh: và , , thẳng hàng.
Ta có , lại có chung nội tiếp
Mà , , thẳng hàng.

Bài 24. Cho đường tròn , lấy điểm nằm ngoài sao cho . Qua kẻ các tiếp tuyến với ( là các tiếp điểm)
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp, xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
2) cắt tại . Chứng minh
3) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , đường thẳng cắt đường thẳng tại , đường thẳng cắt đường thẳng ở . Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng và
Lời giải

a) Xét tứ giác ta có:

Tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối cộng lại là )
Do tứ giác được tạo bởi 2 tam giác vuông và có cùng cạnh huyền Nên tâm đường trong ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của
b) Xét ta có:
Hai tiếp tuyến ở lần lượt cắt nhau ở
là giao điểm của 2 tiếp tuyến
là tia phân giác của

Xét vuông ở ta có: BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

cần ở


là góc nội tiếp chắn cung nên
là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung nên
Ta có:

Ta có

c)
Xét tứ giác nội tiếp ta có: ở vị trí 2 góc cùng nhìn một cạnh

Ta có:

Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên
Xét tam giác ABO ta có
N là trung điểm của AB và I là trung điểm của AO
là đường trung bình của tam giác ABO

Mà Nên
Xét tam giác ta có:
( định lý thales)



Bài 25. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Kẻ đường cao của tam giác , đường kính của đường tròn . Gọi và lần lượt là hình chiếu của và trên .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh .
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Lời giải

a) Xét tứ giác có :
(vì là đường cao ).
(vì ).
Suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
b) Xét vuông tại (vì )
.
Ta có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Mà (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
.
Từ và suy ra .
c) Chứng minh .
Tứ giác nội tiếp nên (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ).
hay .

Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ) suy ra , mà hai góc ở vị trí đồng vị. Suy ra .
Mà .
Mặt khác, (vì là đường trung bình của ) suy ra .
d) Chứng minh là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Ta có ( bán kính đường tròn ngọi tiếp tứ giác ).
cân tại nên đường cao cũng là đường trung trực.
.
Kẻ (vì cùng vuông góc ).
Gọi là giao điểm của và .
Ta có : mà
.
Mà
, mặt khác
Nên là đường trung trực của .
.
Từ và suy ra
hay là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Bài 26. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn sao cho . , từ kẻ và .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh và .
c) Tia cắt tại . Chứng minh cân.
d) Khi . Chứng minh ; ; thẳng hàng.
Lời giải


a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác có
;
Nên
Mà và là hai góc đối nhau
Suy ra là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có hai góc đối bù nhau).
b) Chứng minh và .
Xét và có
là góc chung

Suy ra (g – g)
( cặp góc tương ứng)
Mà ( tứ giác nội tiếp)
Suy ra .
Xét và có
là góc chung
( cmt)
Suy ra (g – g)
Do đó ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Suy ra .
c) Tia cắt tại . Chứng minh cân.
Ta có
( tứ giác nội tiếp);

Mà (câu b))
Suy ra
Xét và có
là góc chung
( do )
Suy ra (g – g)
Do đó ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
Suy ra .
Mặt khác, vuông tại có là đường cao nên
Từ và suy ra .
Vậy cân tại .
d) Khi . Chứng minh ; ; thẳng hàng.
Kẻ tiếp tuyến của .
Ta có:
(sđ ); ()


Mà nên hay
Ta có nên .
Xét có: nên vuông cân tại .
Suy ra
Từ và suy ra , , thẳng hàng hay ; ; thẳng hàng.


Bài 27. Cho tam giác nhọn, nội tiếp đường tròn . Ba đường cao , , của tam giác cắt nhau tại .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ đường kính của đường tròn . Chứng minh tam giác đồng dạng với tam giác và .
c) Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Chứng minh: song song với .
d) Giả sử là dây cố định của đường tròn còn di động trên cung lớn . Tìm vị trí của điểm để diện tích tam giác lớn nhất.
Lời giải

a) Chứng minh tứ giácnội tiếp.
Ta có , do đó 3 điểm , , nằm trên đường tròn đường kính .
Ta có , do đó 3 điểm, , nằm trên đường tròn đường kính .
Do đó, 4 điểm , , , nằm trên đường tròn đường kính .
Vậy là tứ giác nội tiếp.
b) Tam giác đồng dạng với tam giác và .
Đường tròn có góc (2 góc nội tiếp chắn cung )
Đường tròn có là đường kính nên .
Vậy tam giác đồng dạng với tam giác .
Từ đó suy ra .
c) Chứng minh: song song với .
Tứ giác nội tiếp vì .
Suy ra góc nội tiếp .

Đường tròn O có .
Suy ra , do đó .
d) Tìm vị trí của điểm để diện tích tam giác lớn nhất.
Gọi là trung điểm của .
Tam giác có là đường trung bình nên , và không đổi nên độ dài không đổi.
.
.
Bài 28. Cho đường tròn , dây. thuộc cung lớn, tia phân giác góc cắt tại , cắt đường tròn tại điểm thứ hai là .
a) Chứng minh ;
b) Lấy là điểm chính giữa cung ; cắt tại . Chứng minh tam giác cân.
c) Lấy thuộc tia đối của tia sao cho . Tìm quĩ tích của khi di chuyển trên cung lớn .
Lời giải

a) Chứng minh
Xét đường tròn :
(vì là tia phân giác của góc ) (1)
(góc nội tiếp cùng chắn cung ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra hay
Xét và có: chung, (cmt).

(g-g).
b) Chứng minh tam giác cân.
Ta có và là các góc nội tiếp lần lượt chắn các cung và của đường tròn .
Mà (gt) nên sđ = sđ (các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau).
Lại có là điểm nằm chính giữa cung nên sđ = sđ .
Xét có:
sđ (góc nội tiếp chắn cung ).
= sđ + sđ
sđ + sđ (góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn) (4)
Vì sđ = sđ và sđ = sđ nên từ (3) và (4) ta suy ra .
Vậy cân tại .
c) Vì nên tam giác MBP cân tại M. Suy ra
Giả sử
Mà dây AB cố định nên điểm P thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AB


Bài 29. Cho đường tròn và dây cố định không đi qua . Trên cung lớn lấy điểm sao cho nhọn và . Các đường cao của cắt nhau tại .
1) Chứng minh tứ giác: nội tiếp.
2) Kẻ đường kính của . Chứng minh: .
3) Tính độ dài cung nhỏ và diện tích hình quạt tròn (ứng với cung nhỏ ) trong trường hợp cm và , lấy (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
4) Gọi là điểm đối xứng với qua . Chứng minh ba điểm ; ; thẳng hàng.
Lời giải

1) Xét tứ giác có:
nên , nằm trên đường tròn đường kính (Quỹ tích cung chứa góc)
nội tiếp đường tròn đường kính.
2) Chứng minh: .
Xét có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
nên

Xét và
Có:
(chứng minh trên)
(g.g)

3) (tính chất góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung )
Độ dài cung nhỏ là: (cm)
Diện tích hình quạt tròn là: ()
4) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Gọi là giao điểm của và
Ta có: sđ , sđ
sđ
Mà (vì cùng bù với )
Từ đó suy ra:
hay
tại hay (1)
Mặt khác là điểm đối xứng với qua
là đường trung trực của đoạn thẳng
(2)
Từ (1) và (2) , cùng thuộc một đường thẳng hay ; ; thẳng hàng.

Bài 30. ). Cho đường tròn tâm bán kính và đường thẳng không đi qua , cắt đường tròn tại hai điểm , . Lấy bất kỳ trên tia đối của tia . Qua kẻ hai tiếp tuyến , với đường tròn (, là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
b) Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh là phân giác của góc
c) Đường thẳng đi qua và vuông góc với cắt các tia , theo thứ tự tại , . Tìm vị trí của điểm trên sao cho diện tích tam giác nhỏ nhất.
Lời giải



a) Chứng minh tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
Vì là tiếp tuyến của đường tròn nên ,
Suy ra thuộc đường tròn đường kính .
Vì là tiếp tuyến của đường tròn nên ,
Suy ra thuộc đường tròn đường k